Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
444
ДОБАВЛЕНИЕ 14
Теперь рассмотрим фокальный эллипс как предел неплоских параллелей. Оказывается, нормированные гомеоидные плотности параллелей имеют при стремлении параллелей к фокальному эллипсу определенный предел. Этот предел и называется гомеоид-ной плотностью фокального эллипса.
Гомеоидная плотность фокальной гиперболы определяется аналогичным образом.
Теперь мы можем описать плотности токов, создающие описанные в теореме магнитные поля. Поверхность однополостного гиперболоида расслоена над фокальным эллипсом (слой над точкой — меридиан, лежащий на том же двуполостном гиперболоиде, что рассматриваемая точка).
Поток меридианного тока, описанного в теореме, через любую кривую на гиперболоиде равен интегралу формы гомеоидной плотности на фокальном эллипсе по проекции этой кривой на фокальный эллипс (вдоль двуполостных гиперболоидов).
Плотность тока, текущего вдоль параллелей, индуцируется аналогичным образом из гомеоидной плотности на фокальной гиперболе (рис. 250).
Замечание. Магнитное поле параллельного тока указанной плотности внутри трубы гиперболоида совпадает во внешней области каждого конфокального эллипсоида (с точностью до знака) с ньютоновским и кулоновским полем заряда, распределенного по поверхности этого эллипсоида с гомеоидной плотностью *).
Точно так же магнитное поле меридианного тока в кольцевой области вне однополостного гиперболоида совпадает (с точностью до знака) в пространстве между полами каждого двуполостного конфокального гиперболоида с кулоновским полем двух равных зарядов разных знаков, распределенных по двум полам этого двухполостного гиперболоида с гомеоидной плотностью (О. П. Щербак).
Сформулированные выше результаты недавно перенесены Б. 3. Шапиро и А. Д. Вайнштейном на гиперболоиды в евклидовых пространствах любого числа измерений. Для гиперболоида в R", диффеоморфного SK X R', строится гармоническая Л-форма во внешней области (диффеоморфной произведению Sk на полупространство) и гармоническая Z-форма во внутренней.
Рис 250. Магнитные поля токов на гиперболоиде
*) Это именно та плотность, с которой сам собой распределяется заряд на поверхности проводящего эллипсоида.
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
445
Соответствующие гомеоидные плотности определяются на фокальном эллипсоиде размерности к и фокальном двуполостном гиперболоиде размерности I таким же предельным переходом от пересечений слоев между бесконечно близкими гомотетичными квадриками, который выше описан для к = 1 = I.
БезвыкладочЕые доказательства этих геометрических теорем даже в частном случае магнитного поля в трехмерном пространстве неизвестны.
Замечание. Наличие выделенных гармонических форм на гиперболоидах и в дополнительных к ним областях подсказывает, что на некомпактных (а возможно, и особых) вещественных алгебраических или полу алгебраических многообразиях в пространствах дифференциальных форм можно пытаться искать фильтрации, аналогичные возникающим в теории смешанных структур Ходжа.
Простейший пример системы лучей — это система нормалей к поверхности в евклидовом пространстве.
В окрестности гладкой поверхности система ее нормалей образует гладкое расслоение, но на некотором расстоянии от поверхности разные нормали начинают пересекаться (рис. 251). Сложную
картину, которая при этом образуется, изучал уже Архимед, но проясняться она начала лишь после того, как в 1972 г. была обнаружена связь особенностей систем лучей с теорией групп, порожденных отражениями.
Эта связь, для которой не видно никаких априорных причин (столь же удивительная, как, скажем, связь задач о касательных и площадях), оказалась мощным инструментом исследования критических точек функций. К 1978 г. выяснилось, что теория
Добавление 15 ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
Рис. 251. Система нормалей к параболе
Рис. 252. Особенность эвольвенты гладкой кривой
446
ДОБАВЛЕНИЕ 15
групп, порожденных отражениями, управляет также особенностями эвольвент Гюйгенса.
Гюйгенс (1654) обнаружил, что эвольвента плоской кривой имеет точку возврата в том месте, где она подходит к кривой (рис. 252). Эвольвенты и их многомерные обобщения — это волновые фронты на многообразии с краем. Особенности волновых фронтов, как и особенности систем лучей, классифицируются группами, порожденными отражениями.
В то время как лучи или фронты на многообразии без края связаны с группами Вейля серий A, D и Е, особенности эвольвент описываются группами В, С, F (с двойными связями в диаграммах Дынкина).
Остающиеся группы, порожденные отражениями (I2 (р), Из, до недавнего времени не находили приложений в теории особенностей. Положение изменилось после того, как осенью 1982 г, выяснилось, что группа симметрии икосаэдра H3 управляет особенностями системы эвольвент вблизи точки перегиба плоской кривой.
Спрятанный около точки перегиба кривой икосаэдр представляется почти столь же мистическим, как икосаэдр в законе планетных расстояний Кеплера. Но здесь икосаэдр появился не случайно: при исследовании более сложных особенностей систем лучей и фронтов в 1984 г. обнаружена и единственная оставшаяся группа Я4.
