Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Pz = PiPs ± ЯіЯг + яЖ P3 = o, Pi = Яі = . . . = 0.
Эллиптичность и гиперболичность относятся к характеру движения в динамической системе, инвариантно связанной с подмногообразием. Возникающее бездивергентное векторное поле в трехмерном пространстве имеет целую линию особых точек. Классификация особых линий оказывается менее патологической, чем классификация особых точек (приближающаяся по трудности к задачам небесный механики).
Таковы первые шаги теории симплектических особенностей гладких подмногообразий.
В. Лагранжевы многообразия теории систем лучей. Напомню, что лагранжевым многообразием называется подмногообразие симплектического пространства, на котором симплектическая структура обращается в нуль и которое имеет наибольшую возможную размерность (равную половине размерности объемлющего многообразия).
Примеры. 1. Слои кокасательного расслоения лагранжевы. 2. Многообразие всех ориентированных нормалей к гладкому подмногообразию (любой размерности) в евклидовом пространстве — лагранжево подмногообразие пространства прямых. 3. Многообразие всех многочленов з?п + . . ., делящихся на хп, лагранжево.
Лагранжевым расслоением называется расслоение, слои которого лагранжевы.
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
449
Примеры. 1. Кокасателъное расслоение лагранжево. 2. Гауссово расслоение, сопоставляющее ориентированной прямой евклидова пространства ее орт, лагранжево.
Все лагранжевы расслоения фиксированной размерности локально (в окрестности точки пространства расслоения) симплек-тически диффеоморфны.
Лагранжевым отображением называется проектирование лагранжева подмногообразия на базу лагранжева расслоения, т. е. тройка V -> E -> В, где первая стрелка — иммерсия лагранжева подмногообразия, а вторая — лагранжево расслоение.
Примеры. 1. Градиентное отображение q >->- dS/dq. 2. Нормальное отображение: вектору нормали к подмногообразию евклидова пространства сопоставляется его конец. 3. Гуассово отображение: точке трансверсально ориентированной поверхности евклидова пространства сопоставляется орт нормали (соответствующее лагранжево многообразие образовано самими нормалями).
Эквивалентностью лагранжевых отображений называется симп-лектическое отображение пространств расслоений, переводящее слои в слои и первое лагранжево многообразие во второе.
Множество критических значений лагранжева отображения называется каустикой. Каустики эквивалентных отображений диффеоморфны.
Пример. Каустика нормального отображения поверхности есть огибающая семейства нормалей, т. е. фокальная поверхность (поверхность центров кривизны).
Всякое лагранжево отображение локально эквивалентно градиентному (нормальному, гауссовому). Особенности градиентных (нормальных, гауссовых) отображений общего положения — те же, что у общих лагранжевых отображений. Простейшие из них классифицируются по группам отражений A^, D4, E6, E4, E8 (см. добавление 12).
Пример. Рассмотрим среду из пылевых частиц, движущихся по инерции с потенциальным полем скоростей. Через время t частица из х переходит в х + tdS/dx. Мы получили однопарамет-рическое семейство гладких отображений R3 —*¦ R3.
Эти отображения лагранжевы. Действительно, потенциальное поле скоростей задает лагранжево сечение пространства кокаса-тельного расслоения. Фазовый поток уравнения Ньютона сохраняет лагранжевость. Но это лагранжево многообразие при больших t перестает быть сечением: его проекция на базу имеет особенности. Каустики этого отображения — места бесконечной плотности частиц *). Согласно Я. Б. Зельдовичу (1970) аналогичная
*) Связь каустик с плотностью пылевидной среды отмечали первыми Лифшиц, Судаков и Халатников; см. обзор: LifshitzE.M., Halat-tnikovJ.M. Investigations in relativistic cosmology. Il Adv. Phys.— 1963.— V. 12.— P. 185.
450
ДОБАВЛЕНИЕ 15
модель (с учетом тяготения и расширения Вселенной) описывает образование крупномасштабных неоднородностей в распределении вещества во Вселенной.
По теории лаграгокевых особенностей, новорожденная каустика имеет вид эллиптического блюдца (рис. 254) (через время t после своего рождения блюдце имеет оси порядка t1*, глубину порядка t и толщину порядка ta/i). Рождение блюдца соответствует A3.
Метаморфозы каустик в общем однопара-метрическом семействе лагранжевых отображений трехмерного пространства изображены на рис. 255 (А г п о 1 d V. I. Wave рис 254. новорожден- Front Evolution and Equivariant Morse Lem-ная каустика ma//CPAM.-1976.- V. 6, № 2.-P.319-335).
Теорема (1972). Ростки лагранжевых отображений общего положения многообразий размерности <^5 в каждой точке просты (не имеют модулей) и устойчивы. Простые устойчивые ростки лагранжевых отображений классифицируются группами отражений A, D1 Е, как это объяснено
Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4).
