Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 186

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 195 >> Следующая


Примеры. 1. Многообразие контактных элементов гладкого многообразия состоит из всех касательных гиперплоскостей. Скорость перемещения элемента принадлежит плоскости, задающей контактную структуру, если скорость перемещения точки контакта принадлежит элементу.

2. Многообразие l-струй функций у = / (х) имеет контактную структуру dy = pdx (р = df/дхдля 1-струи функции /).

Внешняя геометрия подмногообразия контактного пространства локально определяется внутренней (контактная теорема Гивен-таля).

Интегральное подмногообразие контактной структуры называется лежандровым, если оно имеет наибольшую возможную размерность.

Примеры. 1. Множество всех контактных элементов, касающихся фиксированного подмногообразия (любой размерности) — лежандрово многообразие.

2. В частности, все контактные элементы, приложенные в одной точке, образуют лежандрово подмногообразие (слой расслоения контактных элементов).

3. Множество всех 1-струй одной функции — лежандрово подмногообразие пространства 1-струй.

ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ

452

ДОБАВЛЕНИЕ 15

Расслоение называется лежандровым, если его слои лежандровы.

Примеры. 1. Проективное кокасательное расслоение (сопоставляющее контактному элементу его точку приложения) лежандрово. 2. Расслоение l-струй функций над 0-струями (забывание производной) лежандрово.

Все лежандровы расслоения фиксированной размерности локально контактно диффеоморфны (в окрестности точки пространства расслоения).

Проектирование лежандрова подмногообразия на базу лежанд-рова расслоения называется лежандровым отображением. Образ лежандрова отображения называется фронтом.

Примеры. 1. Преобразование Лежандра: гиперповерхность в проективном пространстве поднимается в пространство его контактных элементов в виде лежандрова подмногообразия. Многообразие контактных элементов проективного пространства расслоено и над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляется содержащая его плоскость). Это расслоение лежандрово. Проекция поднятого лежандрова многообразия отображает его на гиперповерхность, проективно двойственную исходной.

Итак, проективно двойственная гладкой гиперповерхность есть фронт лежандрова отображения.

2. Фронтальное отображение: отложим на каждой нормали к гиперповерхности в евклидовом пространстве отрезок длины t. Мы получим лежандрово отображение, фронт которого — эк-видистанта данной гиперповерхности.

Всякое лежандрово отображение локально эквивалентно и преобразованию Лежандра, и фронтальному отображению. Теория лежандровых особенностей есть в точности теория особенностей преобразования Лежандра и волновых фронтов. Эквивалентность, устойчивость и простота лежандрова отображения определяется, как в лагранжевом случае.

Теорема (1973). Ростки лежандровых отображений общего положения многообразий размерности <^5 в каждой точке просты и устойчивы. Простые устойчивые ростки лежандровых отображений классифицируются группами A, D, Е: их фронты локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порожденных отражениями.

Пример. Типичный волновой фронт в трехмерном пространстве имеет особенностями лишь (полукубические) ребра возврата (A2) и «ласточкины хвосты» (A8, рис. 256; в окрестности такой точки фронт диффеоморфен поверхности в пространстве многочленов Xі + аа? + Ъх + с, образованных многочленами с кратными корнями). Разумеется, возможны также трансверсальные пересечения ветвей фронта с описанными особенностями.

Замечание. Вещественные формы простых особенностей фронтов также допускают описание в терминах групп отражений.

ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ

453

Е. Лойенга показал, что вещественные компоненты дополнения к простому ростку фронта нумеруются классами инволюций (элементов порядка 2) в нормализаторе группы отражений, сопряженных по отношению к действию этой группы отражений

Рис. 256. Типичные особенности волновых фронтов

(см.: Looijenga E.The discriminant of a real simple singularity.— Compositio Math.-1978.- V. 37, Fasc. 1.— P. 51-62).

Д. Приложения контактной геометрии к симплектической.

Все лагранжевы особенности можно получить из лежандровых, если реализовать последние проектированием лежандровых подмногообразий пространства 1-струй функций на пространство 0-струй: достаточно забыть значение функции, чтобы пространство 1-струй превратить в фазовое пространство: лежандрово многообразие первого изоморфно проектируется в лагранжево второго. В частности, каустика лагранжева отображения есть проекция, ребра возврата фронта лежандрова отображения при общем проектировании с одномерными слоями.

Теорема (О. В. Ляшко, 1979). Все голоморфные векторные поля, трансверсалъные фронту простой особенности, локально переводятся друг в друга голоморфным диффеоморфизмом, сохраняющим фронт.

Пример. Векторное поле общего положения в окрестности особой точки ласточкина хвоста {Xі + ахг + Ъх + с = (х + а)2. - •} сохраняющим хвост голоморфным диффеоморфизмом приводится к нормальной форме діде (рис. 257).
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed