Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 188

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 182 183 184 185 186 187 < 188 > 189 190 191 192 193 194 .. 195 >> Следующая


Е. Тангенциальные особенности. Первые приложения, ради которых и была развита (около 1966 г.) теория лагранжевых и лежандровых особенностей, относились к коротковолновым асимптотикам, в том числе — асимптотикам осциллирующих интегралов. Обзор этих приложений (вплоть до нахождения равномерных оценок интегралов при слиянии точек перевала, вычисления асимптотик через многогранники Ньютона, построения смешанных структур Ходжа, применений в теории чисел и теории выпуклых многогранников, оценок индекса особой точки векторного поля и числа особых точек алгебраической поверхности) можно найти в книге: Арнольд В. И., Варченко A. H., Гусейн-3 а д е С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2: Монодромия и асимптотики интегралов.— M.: Наука, 1984, и в докладе: Арнольд В. И. Особенности систем лучей. Международный конгресс математиков в Варшаве, 1983.

Здесь обсуждаются другие приложения теорий лагранжевых и лежандровых особенностей — к исследованию взаимного расположения проективного многообразия и касающихся его плоскостей различных размерностей. К этим вопросам приводят как вариационные задачи с односторонними ограничениями (например, задача об обходе препятствия), так и исследование показателей крутизны Нехорошева невозмущенной функции Гамильтона (см. добавление 8).

Рассмотрим поверхность общего положения в трехмерном проективном пространстве (рис. 259). Кривая параболических точек (р) делит поверхность на область эллиптических точек (е) и область гиперболических точек (К), где лежит еще кривая перегибов асимптотических линий (/). с точками биперегиба (о), самопересечения (с) и касания с параболической кривой (t).

ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ

457

Из этой классификации выводится и оценка показателей кривизны, и классификация проектирований:

Теорема (О. А. Платнова и О. П. Щербак, 1981). Проектирование гладкой поверхности общего положения в RP3 при любом выборе центра проектирования (не на поверхности) локально эквивалентно в каждой точке одному из проектирований поверхностей z = / (х, у) прямыми, параллельными оси х, где / — одна из 14 функций:

х, Xі, Xs + ху, X3 ± Xi/2, Xs + ху3, Xі + ху, Xі + х*у + ху2, х*±х3у + ху, рис 259 Классификация

Xs ± ху1, Xі + 3?у + Ху3, ХЪ + Ху. точек на поверхности

Здесь проектирование понимается как диаграмма V-*- E -*- Вг состоящая из вложения и проекции, а эквивалентность проектирований — как коммутативная З X 2-диаграмма, вертикали которой — диффеоморфизмы.

Проектирование из центра общего положения имеет особенностями лишь складки и сборки Уитни. Сборка появляется при проектировании вдоль асимптотического направления. Остальные особенности наблюдаемы лишь из некоторых точек. Конечность числа особенностей проектирований (и следовательно, числа особенностей видимых контуров) заранее не очевидна, так как множество неэквивалентных особенностей в общих трехпараметри-ческих семействах отображений поверхностей на плоскость континуально.

Разбиение пространства точек зрения на области, из которых поверхность общего положения выглядит по-разному, и соответствующие виды ростка поверхности изображены на рис. 260 (дла наиболее сложных случаев).

Иерархия касательных становится понятнее, если переформулировать ее в терминах симплектической и контактной геометрии. Р. Мельроз (1976) заметил, что касательные к поверхности лучи, описываются парой гиперповерхностей в симплектической фазовом пространстве: одна, р2 = 1, определяет метрику, а другая — поверхность (стр. 439).

Значительная часть геометрии асимптотических может быть-переформулирована в терминах этой пары. Тем самым мы переносим понятия геометрии поверхностей на общий случай любой пары гиперповерхностей симплектического пространства и можем использовать геометрическую интуицию, накопленную в теории поверхностей, для исследования общих вариационных задач с односторонними фазовыми ограничениями.

Пусть YuZ — гиперповерхности в симплектической пространстве X, трансверсально пересекающиеся по подмногообразию W.

Рис. 260. Двадцать четыре вида двух поверхностей

ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ

459

Проектируя У и Z на их многообразия характеристик U, V, получаем шестиугольную диаграмму:

в которой S — общее многообразие особых точек проекций W на U и на V.

Пример. X = {q, р) — фазовое пространство свободной частицы в евклидовом пространстве (q — положение частицы, р — импульс); Y — многообразие ортов (р2 = 1); Z — многообразие краевых векторов (q принадлежит гиперповерхности Г). Тогда U — многообразие лучей, V — многообразие касательных векторов Г, W — многообразие краевых ортов, S — многообразие касательных ортов.

Если касательный орт не асимптотический, то особенность обоих проектирований W' -> U mW Vb его окрестности — складки. Каждая из них определяет на И7 инволюцию, неподвижную на 2.

Пример. На многообразии краевых ортов выпуклой плоской кривой W возникают две инволюции, о и т (рис. 261).

Их произведение — бильярдное преобразование Биркгофа (1927).

ИСПОЛЬЗУЯ Пары ИНВОЛЮЦИЙ, МельроЗ рис. 261. Бильярдное пре-
Предыдущая << 1 .. 182 183 184 185 186 187 < 188 > 189 190 191 192 193 194 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed