Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В этом добавлении коротко описаны основные факты теории особенностей систем лучей. Более подробное изложение имеется в статьях:
Арнольд В. И. Особенности систем лучей // УМН.— 1983.— Т. 38, вып. 2.— С. 77—147;
Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении//Современные проблемы математики.— M.: ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22.— С. 3—55 (другие статьи этого тома и тома 33 (1988; также посвящены теории особенностей);
Л я ш к о О. В. Классификация критических точек функций на многообразии с особым краем // Функц. анализ и его приложения.— 1983.— Т. 17, № 3.— С. 28—36;
Щербак О. П. Особенности семейства эвольвент в окрестности точки перегиба кривой и группа H3, порожденная отражениями // Функц. анализ и его приложения.— 1983.— Т. 17, № 4.— С. 70—72;
Щербак О. П. Волновые фронты и группы отражений // УМН.— 1988.— Т. 43, вып. 3.— С. 125—160.
ВарченкоА. H., Ч м у т о в С. В. Конечные неприводимые группы, порожденные отображениями, суть группы монодромии подходящих особенностей // Функц. анализ и его приложения.— 1984.— Т. 18, JNs 3.— С. 1—13;
Арнольд В. И. Особенности решений вариационных задач // УМН.— 1984.— Т. 39, вып. 5.— С. 256.
Многие из результатов, о которых пойдет речь, относятся к настолько простым геометрическим объектам, что кажется удивительным, как их не заметили классики. Например, локальная
ОСОБЕННОСТИ СИСТЕМ ЛУЧЕЙ
447
классификация проектирований поверхностей общего положения в трехмерном пространстве была найдена лишь в 1981 г. Неэквивалентных ростков проектирований оказалось конечное число, а именно 14: столькими различными способами может выглядеть окрестность точки на поверхности общего положения, если рассматривать ее из различных точек пространства. . А. Симплектические многообразия и системы лучей.
1. Пространство ориентированных прямых в евклидовом пространстве можно отождествить с пространством (ко)касательного расслоения сферы (рис. 253) и так снабдить симплектической структурой.
2. Более общим образом рассмотрим любую гиперповерхность в симплектическом многообразии. Косоортогональное дополнение к ее касательному пространству называется характеристическим направлением. Интегральные кривые поля характеристических направлений на гиперповерхности называются ее характеристиками. Многообразие характеристик наследует из исходного многообразия симплектическую структуру.
3. В частности, многообразие экстремалей рри4н2таровЛныхРаНпря-общей вариационной задачи получает симп- мых лектическую структуру.
4. Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на этом пространстве, инвариантная относительно действия группы SL(2) линейных преобразований с определителем единица. Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру.
5. Бинарные формы от ж и у с единичным коэффициентом при д.гк+1 0бразуЮТ гиперплоскость в пространстве всех форм. Многообразие характеристик этой гиперплоскости естественно отождествляется с многообразием многочленов четной степени x2k + ¦ • • ... от ж. Мы определили естественную симплектическую структуру этого пространства многочленов.
6. Однопараметрическая группа сдвигов вдоль оси х сохраняет указанную симплектическую структуру. Функция Гамильтона этой группы — многочлен второй степени (найденный еще Гильбертом (1893)). Многообразие характеристик поверхности уровня функции Гамильтона отождествляется с многообразием многочленов степени 2k — 1 от х со старшим коэффициентом 1 и суммой корней 0. Мы получаем естественную симплектическую структуру в этом пространстве многочленов.
448
ДОБАВЛЕНИЕ 15
Б. Подмногообразия симплектического многообразия. Ограничение симплектической структуры на подмногообразие — замкнутая 2-форма, но она уже не обязательно невырождена. В евклидовом пространстве, кроме внутренней геометрии подмногообразий, имеется обширная теория внешних кривизн. В симплектической геометрии положение проще:
Теорема (А. Б. Гивенталь, 1981). Росток подмногообразия симплектического многообразия определяется ограничением на него симплектической структуры с точностью до симплектического диффеоморфизма.
Промежуточная теорема, в которой использовались значения симплектической структуры на не касающихся подмногообразия векторах, была ранее доказана А. Вейнстейном (1973). В отличив от теоремы Вейнстейна, теорема Гивенталя позволяет классифицировать ростки подмногообразий общего положения в симплектической пространстве: нужно лишь воспользоваться полученной Ж- Мартине (1970) и его последователями классификацией вырождений симплектических структур.
Примеры. 1. Двумерная поверхность общего положения в симплектической пространстве в окрестности каждой своей точки симплектически диффеоморфна поверхности р2 = р\ , Ps = 9з = • . • . . . = 0 (в координатах Дарбу). 2. На четырехмерном подмногообразии устойчиво встречаются линии эллиптических и гиперболических особых точек Мартине с нормальной формой
