Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
нения (1) является интеграл I1. Иными словами, уравнение (1) записывается в виде уравнения Гамильтона в функциональном
пространстве функций от х, й = -^j- .
Каждый интеграл Is задает таким же образом «высшее урав-нение Кортевега — де Фриза» и = Qs [и\, где Qs = -^- —полином от и, и', . . ., и23*1. Интегралы Is находятся в инволюции, и соответствующие им потоки в функциональном пространстве коммутируют. Явный вид полиномов Ps и Qs, а также явный вид переменных действие—угол (и, следовательно, решений уравнения (1)), описывается в терминах решения прямой и обратной задач теории рассеяния на потенциале и.
Явный вид.полиномов Q8 можно получить также из следующей теоремы Гарднера, обобщающей теорему Лакса. Рассмотрим в пространстве функций
от X дифференциальный оператор вида А = Spiom_l, где р0 = 1, а остальные коэффициенты pi — многочлены от и и производных и по х. Оказывается, для каждого s существует такой оператор A3 порядка 2s -f- 1, что его коммутатор с оператором Штурма — Лиувилля L есть оператор умножения на функцию: [L, As] = Qs.
Оператор A8 определяется выписанными условиями однозначно с точностью до добавления линейной комбинации А Т с г < s; тем самым и многочлены Cs от и и от производных и определены с точностью до прибавления линейной комбинации предыдущих QT.
В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, Л. Д. Фаддеев и другие исследовали с помощью приема Лакса и техники обратной задачи теории рассеяния целый ряд физических важных уравнений, в том числе уравнения utt — ихх = sin и, Щ + $хх + яр | ф |2 = 0.
Исследование задачи с периодическими граничными условиями для уравнения Кортевега — де Фриза привело С. П. Новикова**)
*) Захаров В. E., Фаддеев Л. Д. Уравнение Кортевега — де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система // Функциональный анализ и его приложения.— 1971.— Т. 5, № 4.— С. 18—27.
**) Новикове.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза, I // Функциональный анализ и его приложения.— 1974.—Т. 8,
№ 3
.— С. 54—66.
468
ДОБАВЛЕНИЕ 16
к открытию интересного класса вполне интегрируемых систем с конечным числом степеней свободы. Эти системы строятся следующим образом.
Рассмотрим какую-либо конечную линейную комбинацию первых интегралов / = 51сіЛі-і> и пусть c0 = 1. Множество стационарных точек потока с гамильтонианом / в функциональном пространстве инвариантно относительно фазовых потоков с гамильтонианами Is, в частности относительно фазового потока уравнения (1).
С другой стороны, эти стационарные точки определяются из уравнения ¦^¦•^ = 0, или ¦^- = d. Последнее уравнение представляет собой уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала / — UI^1, включающего п-е производные. Следовательно, оно имеет порядок 2ге и может быть записано как система уравнений Гамильтона в 2и-мерном евклидовом пространстве.
Оказывается, получающаяся гамильтонова система с ге степенями свободы имеет ге интегралов в инволюции и может быть полностью проинтегрирована с помощью подходящих координат действие — угол. Таким образом получается конечномерное семейство частных решений уравнения Кортевега — де Фриза, зависящее от Зге -f- 1 параметров (2ге фазовых координат и еще re + 1 параметр C1, . . ., сп\ d).
Найденные решения обладают, как показал Новиков, замечательными свойствами: например, в периодической вадаче они задают функции и (х), для которых линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами —X" + и (х) X = = XX имеет конечное число зон параметрического резонанса (см. § 25) на оси %.
Обзоры современного состояния теории интегрируемых систем опубликованы в серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т. 4 (M.: ВИНИТИ, 1985) и т. 16 (М: ВИНИТИ, 1987) Б. А. Дубровиным, И. М. Кричевером, С. П. Новиковым, М. А. Олыпанецким, А. М. Переломовым, М. А. Семено-вым-Тян-Шанским, В.В.Трофимовым и А.Т.Фоменко.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Ли 181, 284, 285
--векторных полей 184
--группы Ли 186
--первых интегралов 190
--функций Гамильтона 187, 190
Апоцентр 36 Атлас 72
— симплектический 201 Атласы эквивалентные 72
Базис симплектический 192
— эрмитово-ортонормированный 309
Биения 97, 98
Вариация 53
Вектор касательный к многообразию 74, 75
— кокасательный к многообразию 176
— Лапласа 381
— Пуассона 345
— формы нулевой 206
— характеристический 335 Векторы косоортогональные 192 Вихрь двумерного поля скоростей 300 Волчок быстро запущенный 140
— быстрый 137
— Лагранжа 132
— симметричный 132
— спящий 136 Вращение 112
— переносное 113
— равномерное 113
— стационарное 129, 293 Время 13
Гамильтониан квадратичный 347
— —, собственные числа 348 Гиперплоскость контактная 320 Гомологии 174
Граница цепи 162 График отображения 15 Группа галилеева 13
— диффеоморфизмов однопараметрическая 25, 182
— Ли 186, 284
-— ортогональная 197
— параллельных переносов 12
— симплектическая 193
— стационарная 241
— унитарная 197
Движение в R" 14
