Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Строго говоря, мы доказали теорему 3 лишь для прямых общего положения, но результат по непрерывности легко распространяется на исключительные случаи (в частности, на асимптотические прямые наших квадрик). Точно так же теорема 4 доказана для поверхностей с неравными главными осями, но предельным переходом распространяется на более симметричные квадрики вращения (а также на нецентральные, «параболоиды»).
442
ДОБАВЛЕНИЕ 14
Б. Магнитные аналоги теорем Ньютона и Айвори. Эллиптические координаты позволяют распространить известные теоремы Ньютона о притяжении сфер на случай притяжения эллипсоидов.
Определение. Гомеоидной плотностью на поверхности эллипсоида называется плотность слоя между данным и бесконечно близким к нему гомотетичным эллипсоидом с тем же центром.
Теорема Айвори. Конечная масса, распределенная по поверхности эллипсоида с гомеоидной плотностью, не притягивает внутренние точки, а внешние точки притягивает так же, как такая же масса, распределенная с гомеоидной плотностью по поверхности меньшего конфокального эллипсоида.
Здесь притяжение определяется законом Ньютона или Кулона: в n-мерном пространстве сила пропорциональна г1'" (как предписывает фундаментальное решение уравнения Лапласа).
Теорема Ньютона о притяжении внутренних точек переносится на случай гиперболических гомеоидных слоев и на случай притяжения массой, распределенной по гиперповерхности уровня гиперболического многочлена любой степени.
[Многочлен степени т, f (X1, . . ., хп) называется гиперболическим (относительно точки 0), если его ограничение на любую прямую, проходящую через 0, имеет лишь действительные корни.
Гомеоидная плотность заряда на гиперповерхности / = 0 определяется как плотность однородного бесконечно тонкого слоя между гиперповерхностями / = 0 и / = в —*- 0 (знаки зарядов выбираются так, чтобы последовательные овалоиды были заряжены противоположно).
Гомеоидный заряд не притягивает точку 0 (и все точки внутри самого внутреннего овалоида), и это свойство заряда сохраняется, если умножить его плотность на любой многочлен степени т — 2.
Обобщение: если умножить гомеоидную плотность заряда на любой многочлен степени т — 2 + г, то потенциал такого заряда внутри самого внутреннего овалоида будет гармоническим многочленом степени г (А. Б. Гивенталь, 1983). Производные потенциала высокого порядка алгебраичны и в следующих областях (В.А.Васильев, 1989) при п = 2].
При попытке перенести на гиперболоиды теоремы Айвори о притяжении конфокальными эллипсоидальными слоями выяснилось, что существенную роль играет топология гиперболоида. При переходе к гиперболоидам различных сигнатур вместо гомеоидных плотностей следует рассматривать гармонические на гиперболоидах дифференциальные формы различных степеней, а вместо ньютоновского или кулоновского потенциала — соответствующим образом обобщенные потенциалы закона Био — Савара.
В простейшем нетривиальном случае однополостного гиперболоида в трехмерном евклидовом пространстве результаты состоят в следующем.
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
443
Гиперболоид делит пространство на две части: «внутреннюю» и «внешнюю» (неодносвязную). Рассмотрим линии эллиптических координат, поверхности уровня которых — квадрики, конфокальные данному гиперболоиду.
Линии эллиптических координат на нашем гиперболоиде, получающиеся пересечением его с эллипсоидами (замкнутые линии кривизны гиперболоида), назовем параллелями гиперболоида. Перпендикулярные им линии пересечения с двуполостными гиперболоидами назовем меридианами.
Хотя эллиптические координаты и имеют особенности (на всех плоскостях симметрии квадрик семейства), гиперболоид гладко расслоен на параллели (диффеоморфные окружностям) и меридианы (диффеоморфные прямым).
Область внутри трубы гиперболоида также гладко расслоена на меридианы (ортогональные конфокальным эллипсоидам семейства), а кольцевая область вне гиперболоида — на параллели (ортогональные двуполостным гиперболоидам).
Теорема. Ток надлежащей плотности, текущий вдоль меридианов гиперболоида, создает магнитное поле, которое внутри трубы гиперболоида равно нулю, а во внешней кольцевой области направлено вдоль параллелей. Ток надлежащей плотности, текущий вдоль параллелей гиперболоида, создает магнитное поле, равное нулю во внешней, кольцевой области и направленное вдоль меридианов внутри трубы гиперболоида.
Плотности токов, создающих такие магнитные поля, обобщают гомеоидные плотности на поверхностях эллипсоидов и могут быть описаны следующим образом.
С семейством конфокальных квадрик в трех- рис 249 фокальный
мерНОМ евКЛИДОВОМ пространстве Связаны ДВЄ эллипс и фокальная
«фокальные кривые»: эллипс (рис. 249) и ги- гипербола пербола. Фокальный! эллипс — это край предельного эллипсоида семейства, у которого малая ось сжалась в 0 (фокальная гипербола получается так же из двуполостного гиперболоида).
Определим на фокальном эллипсе гомеоидную плотность следующим образом. Сначала рассмотрим какую-либо неплоскую параллель, определенную как неплоское пересечение конфокальных эллипсоида и однополостного гиперболоида. Гомеоидная плотность на этой параллели определяется как плотность бесконечного тонкого слоя, получающегося при пересечении слоя между данным эллипсоидом и бесконечно близким к нему гомотетичным эллипсоидом с тем же центром, с одной стороны, и слоя между данным однополостным гиперболоидом и бесконечно близким к нему гомотетичным гиперболоидом с тем же центром. Мы нормируем эту гомеоидную плотность на параллели так, чтобы масса всей параллели была равна 1.
