Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В пересечении W выделяется еще гиперповерхность (коразмерности 3 в X), в точках которой ограничение симплектической структуры X на W вырождается. Эту гиперповерхность 2 в W можно также определить как множество критических точек сквозного отображения W Q Y -» В (или, по желанию, WqZ-» С). Введенные объекты образуют коммутативную диаграмму:
440
ДОБАВЛЕНИЕ 14
Аналог леммы А в этой ситуации утверждает, что характеристики на образах отображений 2->Ви2->С являются образами одних и тех же кривых на 2 (а именно — характеристик подмногообразия 2 симплектического многообразия X).
Сама лемма А получается из этого утверждения в частном случае, когда X = R2" — фазовое пространство свободной частицы в R", гиперповерхность Y образована ортами (задается условием р2 = 1, т. е. является поверхностью уровня гамильтониана свободной частицы), гиперповерхность Z образована всеми векторами, приложенными в точках изучаемой поверхности в R". В этом случае В есть многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства, а 2 — многообразие касательных ортов. Отображение 2 -> В сопоставляет касательному орту содержащую его касательную прямую. Многообразие С есть пространство (ко)касательного расслоения изучаемой поверхности. 2 —*¦ С — вложение в это пространство пространства расслоения единичных сфер (в иных терминах вложение гиперповерхности уровня кинетической энергии, т. е. гамильтониана движения со связями).
Приведенную выше диаграмму всегда полезно иметь в виду при исследовании связей в симплектической геометрии.
Продолжение доказательства теоремы 3. Предположим, что в евклидовом (конфигурационном) пространстве задана гладкая функция и что ограничение этой функции на некоторую прямую имеет невырожденную критическую точку. В таком случае такая же критическая точка (точка касания прямой с поверхностью уровня функции) будет и на любой близкой прямой. Значение функции в критической точке является, таким образом, функцией от прямой. Назовем эту функцию прямой индуцированной (из исходной функции точки).
Лемма В. Если функции точек евклидова пространства таковы, что плоскости, касающиеся их поверхностей уровня в точках касания некоторой прямой с этими поверхностями *), ортогональны, то скобка Пуассона индуцированных функций обращается е нуль в точке, являющейся рассматриваемой прямой.
Доказательство леммы В. Вычислим производную второй индуцированной функции вдоль фазового потока, заданного первой, как функцией Гамильтона. Фазовые кривые, заданные первой индуцированной функцией на ее поверхности уровня, являются характеристиками этой поверхности. Поверхность уровня первой индуцированной функции состоит из всех прямых, касающихся фиксированного многообразия уровня первой функции точки. Каждая характеристика этого многообразия прямых, по лемме А, состоит из прямых, касающихся одной геодезической многообразия уровня первой функции точки.
*) Точка касания, вообще говоря, своя для каждой функции.
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
441
При бесконечно малом сдвиге точки по геодезической поверхности касательная к геодезической прямая (с точностью до малых высшего порядка) поворачивается в плоскости исходной касательной и нормали к поверхности. По условию, касательная плоскость к поверхности уровня второй функции в точке касания этой поверхности с нашей прямой перпендикулярна касательной плоскости поверхности уровня первой функции. Поэтому при указанном выше бесконечно малом повороте прямая сохранит касание с той же самой поверхностью уровня второй функции (с точностью до малых высшего порядка). Следовательно, скорость изменения второй индуцированной функции под действием фазового потока, заданного первой, обращается в нуль в изучаемой точке пространства прямых, что и доказывает лемму В.
Окончание доказательства теоремы 3. Зафиксируем прямую общего положения в R". По теореме 2 она касается п — 1 квадрик конфокального семейства в п — 1-й точке. Построим в окрестности каждой из этих точек гладкую функцию, без критических точек, поверхности уровня которой — квадрики нашего конфокального семейства.
Зафиксируем одну из этих квадрик («первую») и рассмотрим уравнения Гамильтона в пространстве прямых, функцией Гамильтона которых является первая индуцированная функция прямой. Каждая фазовая кривая на фиксированной поверхности уровня функции Гамильтона состоит из касательных прямых одной геодезической квадрики (лемма А). Остальные индуцированные функции имеют с этой функцией нулевую скобку Пуассона по лемме В (ибо плоскости, касающиеся конфокальных друг другу поверхностей в точках одной прямой, ортогональны по теореме 2).
Итак, все индуцированные функции суть первые интегралы системы, функцией Гамильтона которой является любая из них. Поскольку фазовые кривые этой системы — касательные к одной геодезической первой поверхности, все индуцированные функции принимают на всех этих касательных постоянные (не зависящие от точки геодезической) значения. Отсюда вытекает как теорема 3, так и
Теорема 4. Геодезический поток на центральной поверхности второй степени в евклидовом пространстве — вполне интегрируемая по Лиувиллю система {имеющая столько независимых интегралов в инволюции, каково число степеней свободы).
