Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство указанного свойства евклидова пучка основано на том, что эти векторы определяют главные оси подходящей
1 1
квадратичной формы, а именно формы В = -g- (Ах, х)--^(?, эе)2,.
где (I, х) = 1 — уравнение рассматриваемой гиперплоскости.
В самом деле, на главной оси любой квадратичной формы В, отвечающей собственному числу К, форма В — KE обращается в О вместе со своим градиентом. Обращение в 0 самой этой формы в точке пересечения главной оси с гиперплоскостью означает, что
точка пересечения лежит на квадрике -^-(А\х, х) = 1, а обращение в 0 градиента означает, что квадрика в этой точке касается гиперплоскости.
Теорема 2 (Шаля). Общая прямая в n-мерном евклидовом пространстве касается п—1-й различной квадрики семейства кон-
Рис. 248. Конфокальное семейство и евклидов пучок
438
ДОБАВЛЕНИЕ 14
фокальных квадрик, причем плоскости, касающиеся каждая своей квадрики в точке ее касания с прямой, попарно ортогональны.
Доказательство. Спроектируем квадрики конфокального семейства пучком параллельных прямых на перпендикулярную пучку гиперплоскость. Каждая квадрика определяет видимый контур (множество критических значений проектирования квадрики). Для направления проектирования общего положения видимые контуры квадрик — это поверхности второй степени в гиперплоскости — образе проектирования.
Лемма. Видимые контуры квадрик конфокального семейства сажи образуют конфокальное семейство квадрик.
Доказательство. Переход к двойственным объектам превращает сечения в проекции, а проекции в сечения. Видимые контуры проектирования конфокальных квадрик пучком параллельных прямых двойственны поэтому сечениям двойственных •квадрик проходящей через нуль гиперплоскостью.
Но сечения квадрик евклидова пучка гиперплоскостью, проходящей через 0, образуют евклидов пучок квадрик в этой гиперплоскости. По двойственности отсюда следует лемма.
Применим доказанную лемму к проектированию вдоль прямой, о которой идет речь в теореме 2. По лемме видимые контуры проектирования конфокальных квадрик теоремы 2 образуют конфокальное семейство квадрик в гиперплоскости. По теореме 1 эти видимые контуры пересекаются под прямыми углами. Это доказывает теорему 2.
Теорема 3 (Якоби и Шаля). Касательные прямые к геодезической линии квадрики в n-мерном пространстве, проведенные •во всех точках геодезической, касаются, кроме этой квадрики, еще п—2-х конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической.
Начало доказательства. Рассмотрим многообразие ориентированных прямых евклидова пространства. Это многообразие имеет естественную симплектическую структуру, как многообразие характеристик гиперповерхности ра = 1 в фазовом пространстве свободной частицы, движущейся по инерции в нашем евклидовом пространстве.
[Характеристика на гиперповерхности в симплектическом многообразии — это интегральная кривая поля характеристических направлений, т. е. поля косоортогональных дополнений ж касательной плоскости гиперповерхности. Иными словами, характеристика гиперповерхности — это лежащая на этой гиперповерхности фазовая кривая уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона, имеющей на этой гиперповерхности нуль первого порядка.
Симплектическая структура многообразия характеристик гиперповерхности симплектического многообразия определяется тем, что кососкалярное произведение любых двух векторов, ка-
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
439'
сающихся гиперповерхности в исходном симплектической многообразии, равно кососкалярному произведению их проекций на-многообразие характеристик].
Лемма А. Каждая характеристика многообразия всех прямых, касающихся заданной гиперповерхности в евклидовом пространстве, состоит из касательных прямых одной геодезической-гиперповерхности (во всех точких геодезической).
Доказательство леммы А. Здесь мы для краткости отождествим кокасательные векторы евклидова пространства с касательными при помощи евклидовой структуры, так что-исходное фазовое пространство будем представлять себе как пространство векторов, приложенных в точках евклидова пространства (импульсы отождествляем со скоростями). Орты, приложенные-в точках рассматриваемой гиперповерхности и касающиеся ее, образуют в фазовом пространстве подмногообразие нечетной коразмерности (равной 3). Характеристики этого подмногообразия определяют геодезический поток на рассматриваемой гиперповерхности.
Отображение, сопоставляющее вектору прямую, на которой он лежит, переводит указанное подмногообразие коразмерности 3 в многообразие касательных прямых гиперповерхности. При этом отображении характеристики переходят в характеристики* (по определению симплектической структуры пространства прямых). Это доказывает лемму.
Замечание. Проведенное рассуждение легко обобщается на следующую общую ситуацию, впервые рассмотренную Мель-розом. Пусть Y, Z — пара гиперповерхностей в симплектическом многообразии X, трансверсально пересекающихся по подмногообразию W. Рассмотрим многообразия характеристик В и С гиперповерхностей YmZ вместе с каноническими расслоениями на характеристики, Y -*> В и Z С; многообразия В vi С наследуют из X симплектические структуры.
