Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что слои исходного расслоения — вещественные ориентированные четномерные многообразия, и рассмотрим гомологии средней размерности. В этом случае на пространстве гомологии определена билинейная форма: индекс пересечения. Эта форма симметрична, если размерность слоя кратна 4, и кососим-метрична в противном случае. Она невырождена, если слой замкнут (компактен и не имеет края), но может вырождаться в противном случае. Предположим, что форма кососимметрична.
В этой ситуации невырожденное отображение периодов индуцирует на базе пуассонову структуру. Действительно, построенный выше изоморфизм кокасательного пространства базы с группой гомологии (снабженной кососимметрической формой пересечений) определяет билинейную кососимметрическую форму пары кокасательных векторов. Скобка Пуассона двух функций в точке определяется как значение этой формы на дифференциалах функций.
Эта скобка определяет на базе структуру Пуассона (постоянного ранга). Это видно из того, что заданное отображением периодов локальное отождествление базы с группой когомологий слоя вводит на базе такие локальные координаты, скобки Пуассона которых постоянны *).
Варченко и Гивенталь заметили, что построенные таким способом по 1-формам общего положения пуассоновы структуры на дополнениях к дискриминантным многообразиям в базах версаль-ных деформаций критических точек функций двух переменных (если угодно, на дополнениях к волновым фронтам с типичными особенностями) голоморфно продолжаются на дискриминантное многообразие (волновой фронт). Мы ограничимся простейшим примером возникающих на этом пути пуассоновых структур.
Рассмотрим трехмерное пространство многочленов
С? = {Xі + I1X2 + 1K2X + X3}
с координатами X11. Многочлены с кратными корнями образуют в нем дискриминантную поверхность (ласточкин хвост, рис. 247). Пуассонова структура, возникающая из отображения периодов, приводится (сохраняющим ласточкин хвост диффеоморфизмом)
*) В случае, когда форма пересечений симметрична, аналогичная конструкция определяет на базе плоскую псевдориманову метрику, быть может, вырожденную.
434
ДОБАВЛЕНИЕ 13
Рис. 247. Пуассонова структура пространства многочленов
к такому виду: симплектические слои — это плоскости X2 = = const, их симплектическая структура — форма ClX1 /\ dXs. Расслоение, о котором здесь идет речь, образовано комплексными кривыми
{х, у: у2 = Xі + X1 хг + X2X + Я3},
отображение периодов задается, например, формой ydx (см. книгу Арнольд В. И., В а р ч е н-к о A. H., Г у с е й н-3 а д е С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 2.— M.: Наука, 1984, § 15).
Возникающая из отображения периодов пуассонова структура на пространстве ласточкина хвоста может быть локально определена как структура общего положения среди обладающих следующим свойством: линия самопересечения хвоста вся лежит в одном симплектическом листе.
Нужное здесь условие общности положения состоит в том, что касательная плоскость листа в нуле не совпадает с касательной плоскостью ласточкина хвоста в нуле. Всякая гладкая функция, постоянная на линии самопересечения хвоста, имеющая ненулевой дифференциал на касательной плоскости хвоста в нуле, приводится вблизи нуля сохраняющим хвост диффеоморфизмом к виду A,2+const, а семейство голоморфных симплектических структур на плоскостях X2 = const приводится к виду Д dXs голоморфным локальным диффеоморфизмом трехмерного пространства, сохраняющим ласточкин хвост и расслоение на плоскости X2 = const (УМН. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 236).
Можно предполагать, что и другие пуассоновы (в частности, симплектические) структуры на базах версальных деформаций особенностей, индуцированные из формы пересечений инфинитези-мально устойчивыми отображениями периодов, определяются естественными условиями на ранги ограничения пуассоновой структуры на страты дискриминанта (с точностью до сохраняющих бифуркационное множество диффеоморфизмов). «Естественное условие» в разобранном выше трехмерном примере состоит в том, что линия самопересечения ласточкина хвоста лежит в симплектическом слое. В четырехмерном пространстве аналогичную роль, видимо, играет условие лагранжевости многообразия многочленов с двумя критическими точками с критическим значением нуль в симплектическом пространстве многочленов X5 + X1X3 + X2X2 + -\- XgX -j- X^.
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
435
Добавление 14 ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде.
Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме.
