Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
A0
Ai
л2к-1
У
*2±2/2fc
хЯу±уҐІ-1
1 + ax-\-byk
Г)а
Ее
Es
z22/+j/2ft
ж3+у*
х3+ху3
х3+уъ
1+ах
Теорема. Пуассонова структура на двумерном многообразии либо в окрестности каждой точки приводится к одной из нормальных форм предыдущей таблицы, либо принадлежит множеству коразмерности 8 в пространстве пуассоновых структур.*
ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ
427
Таким образом, пуассоновы структуры общего положения в окрестности каждой точки приводятся к нормальным формам {х, у} = 1 (неособая точка) или {х, у} = у (точка A0). В однопараметрических семействах общего положения встречаются еще при отдельных значениях параметра структуры A1: {х, у} = = Ъ' (ж2 ± J/2), Ь Ф 0; в двупараметрических семействах А2т и т. д.
Замечание 1. В двумерном случае все пуассоновы структуры образуют линейное пространство, поэтому можно говорить о структурах или семействах общего положения (имея в виду структуры (семейства), принадлежащие некоторому открытому всюду плотному множеству пространства структур (семейств)). Задача классификации пуассоновых структур в пространстве трех или большего числа измерений с точки зрения общего положения не поставлена однозначно, так как все структуры не образуют единого многообразия (могут встречаться компоненты «разных размерностей», как при классификации алгебр Ли).
Замечание 2. Структура {х, у} = у типа A0 — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г. в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на группе (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида {х, у} = у + . . ., где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А. Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств полупростых алгебр Ли.
Замечание 3. Параметры а, Ъ в приведенной выше таблице — модули (непрерывно зависящие от структуры инварианты). Точнее говоря, структуры, эквивалентные данной, встречаются при изменении параметров лишь конечное число раз. Таким образом, уже в однопараметрических семействах общего положения на плоскости встречается континуум локально неэквивалентных друг другу пуассоновых структур.
Дроби в таблице можно было бы заменить многочленами, но удобнее этого не делать. Числа модулей в знаменателях на единицу меньше чисел неприводимых компонент кривых / = 0. Такое совпадение не случайно. Инвариантами пуассоновых структур на плоскости являются вычеты, построенные по форме dx Д dylf (сначала строится форма-вычет на каждой компоненте, а потом ее вычет в нуле). Сумма вычетов, отвечающих всем компонентам, равна нулю. Поэтому число модулей на 1 меньше числа компонент.
Г. Степени форм объема. Классификацию пуассоновых структур на плоскости можно рассматривать как классификацию диф-
428
добавление 13
•ференциальных форм вида / (dx Д dy)'1, где / — гладкая (или голоморфная, или вещественно-аналитическая и т. п.) функция. Более общим образом естественно рассмотреть формы вида
/ (dx)a = / (X1, . . ., хп) (dx, Л • • ¦ Л dxj>, (2)
тде а — фиксированное, вообще говоря, комплексное, число. Классификация таких форм и их деформаций в одномерном случае недавно получена В. П. Костовым, выявившим роль резонансных значений а (некоторых отрицательных рациональных значений), Функц. анализ и его прил. — 1984. — Т. 18, вып. 4. — С. 81—82.
Например, резонансный случай п = 1, а = —1 соответствует классификации особенностей и бифуркаций особых точек векторных полей на прямой, т. е. особых точек дифференциальных уравнений X = V (х) и их бифуркаций в конечнопараметрических семействах. Однопараметрическое семейство общего положения приводится гладкой (голоморфной) заменой переменной х, гладко (голоморфно) зависящей от параметра, и гладкой заменой параметра к виду X = x2 + є + с (є) xs (при к параметрах ответ такой: X = xk+l + e1x*'1 + . . . + ек + с (е) x2^+1).
Нерезонансный случай изучен С. Ландо и при любых п и а: он показал, что почти всякая версальная деформация функции / определяет, после умножения на (dx)a, версальную деформацию формну если а — не резонансное (Функц. анализ и его прил. — 1985. — Т. 19, вып. 2. — С. 78—79).
Интересующий нас в связи со структурами Пуассона случай а = —1, вообще говоря, резонансный. Вместо степеней (2) форм объема будем классифицировать дифференциальные формы
fdxx ? = 1/а, (3)
что, очевидно, эквивалентно классификации форм (2).
Гиперповерхность / = 0 инвариантно связана с формой (3). Поэтому классификация начинается с приведения к нормальной -форме многообразия особенностей, / = 0. Начало иерархии особых точек гиперповерхностей известно. В подходящей системе локальных координат гиперповерхность дается одним из уравнений
