Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 177

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 195 >> Следующая


431

Соответственно бивекторное поле и пуассонова структура локально приводятся к виду

/(«. У) (дх Л ду) _ /(«,у)

±і + ф(*,Ю ' х ,УІ ±1 + ф(*.») '

Вычисляя веса для простых особенностей A1D, E функций / от двух переменных, получаем из этого следствия приведенную на с. 426 таблицу. Например, для Ax имеем W1 = W2 = 1/2, вес <р равен 0 и, значит, q> — константа.

Размерность пространства классов эквивалентности форм hdx Д dy/f, где h (0) ф 0 и / — фиксированный невырожденный квазиоднородный многочлен, равна размерности пространства квазиоднородных многочленов веса 1 — а.

Е. Теоремы Варченко. А. Н. Варченко указал ряд обобщений предыдущих теорем (Функц. анализ и его прил.— 1985.— Т. 19, вып. 4. — С. 23—31).

1. Пусть / — квазиоднородный многочлен веса 1 переменных X1, . . ., хп весов W1, . . ., wn. Пусть классы смежности одночленов хт, т €= /, порождают фактор-алгебру алгебры степенных рядов

С [[X1, .. ., XnW(dfIdX1, . . ., df!дхп)

как линейное пространство-

Теорема. Всякий росток f$h dx эквивалентен ростку вида

/Р (1 + S^m, і xmf) dx, где неотрицательные целые I и т I таковы, что вес формы /Рх7"/1 dx равен нулю.

2. Назовем степенью неквазиоднородности ростка / размерность фактор-пространства

(/, BfIdX11.... OfIdXjHPfIdX1,.... df 1дхп).

Теорема. Для почти всех ? число модулей форм PhOX1 Д Д . . . Д dxn (с фиксированными ? и / и разными h, h (0) Ф 0) одинаково и равно степени неквазиоднородности ростка /. Исключительные (резонансные) значения ? составляют конечное число арифметических прогрессий, составленных из отрицательных рациональных чисел, с разностью — 1.B частности, для любого ? Г> 0 число модулей равно степени неквазиоднородности.

3. Пример. При ? = 0 получаем:

Следствие. Число модулей форм hdx (h (0) Ф 0) относительно действия группы сохраняющих росток / — 0 диффеоморфизмов равно степени неквазиоднородности / (равно нулю, если росток / эквивалентен квазиоднородному).

4. В резонансном случае ответ сложнее.

Пример. Пусть п = 2, ? = —1 (пуассоновы структуры на плоскости).

432

ДОБАВЛЕНИЕ 13

Теорема. Число модулей ростков структур Пуассона на плоскости с данной особой кривой f = 0 равно степени неквазиод-нородности ростка /, увеличенной на число неприводимых компонент, ростка кривой f = 0 без единицы.

В резонансном случае число модулей ведет себя достаточно-регулярно вдоль каждой арифметической прогрессии с разностью —1. А именно, при вычитании единицы из ? число модулей (не строго) возрастает, пока не достигнет (при некотором ? ^> —п} максимального значения, которое превосходит исходное значение (т. е. степень неквазиоднородности) на число жордановых клеток с собственным числом е2яФ оператора монодромии функции /.

Ж. Пуассоновы структуры и отображение периодов. Интересный источник пуассоновых структур доставляют отображения периодов критических точек голоморфных функций (В а р ч е H-ко A. H., ГивентальА. Б. Отображение периодов и форма пересечений // Функц. анализ и его приложения.— 1982.— Т. 16, вып. 2.— С. 7—20).

Отображение периодов позволяет переносить на базу расслоения структуры, имеющиеся в пространстве (ко)гомологай слоя. Пуассонова структура на базе возникает этим способом из формы пересечений в средних гомологпях слоя, когда эта форма косо-симметрична.

Отображение периодов определяется следующей конструкцией. Пусть дано локально тривиальное расслоение. С таким расслоением связаны расслоения гомологии и когомологий слоев с комплексными коэффициентами (база та же). Эти расслоения не только локально тривиальны, но и канонически локально тривиализованы (целочисленный цикл в слое перетаскивается в ^соседний слой гомологически однозначно). Отображением периодов называется сечение расслоения когомологий.

Пусть теперь на пространстве гладкого расслоения дана дифференциальная форма, замкнутая на слоях. Отображение периодов этой формы сопоставляет точке базы класс когомологий формы в слое над этой точкой.

Если на базе расслоения дано векторное поле, то любое (гладкое) отображение периодов можно дифференцировать вдоль этого поля, и производная также есть отображение периодов. Действительно, близкие слои расслоения когомологий канонически отождествляются друг с другом целочисленной локальной тривиа-лизацией, после чего сечение становится (локально) отображением в один слой и дифференцируется, как обычная функция.

Предположим, что база — комплексное многообразие и что комплексные размерности базы и слоя расслоения когомологий одинаковы. Отображение периодов называется невырожденным, если его производные вдоль любых С-независимых векторов в каждой точке линейно независимы. Иными словами, отображение пе-

ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ

433

риодов невырождено, если соответствующее локальное отображение базы в один слой — диффеоморфизм.

Таким образом, производная невырожденного отображения периодов изоморфно отображает касательное расслоение базы на расслоение когомологий. Двойственный изоморфизм отображает расслоение гомологии на кокасательное расслоение базы. Этот изоморфизм и переносит имеющиеся в группе гомологии дополнительные структуры на базу.
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed