Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Ii >0; [а > 4;
± яГ1 ± 4 ± • •
- dtz *?n
= o,
DW.
х\х2 ± x21'1 ± х% ± . .
• dt •^n
= o,
E6:
х\ + 4 ± 4 ±..
• db
= 0;
E1:
Xx ~\~ X1X2 rfc і • •
= 0;
Es:
Xl -j- X2 —j— . .
" dz Xn
= 0.
Приведя гиперповерхность к нормальной форме, мы сводим классе пфикацию форм (3) или (2) к классификации дифференциальных
пуассоновы структуры
429
форм вида
ph (X1, . ..,Xn)Ox, h (0) Ф 0, (4)
где / = 0 — выбранное уравнение гиперповерхности особенностей, h — гладкая (голоморфная...) функция, которую и остается привести к нормальной форме.
Д. Квазиоднородный случай. MhJ рассмотрим здесь случай, когда гиперповерхность особенностей / = 0 квазиоднородна (в случаях A,D,E классификации гиперповерхностей это так).
Определение. Функция / называется квазиоднородной seca р при весах Wi переменных xt, если она является собственным вектором оператора дифференцирования вдоль квазиоднородного эйлерова поля э с собственным числом р (или нулем):
э/ = pf, где э = ^WiXid/dXj.
Квазиоднородный многочлен называется невырожденным, если критическая точка 0 конечнократна (С-изолирована). Мы будем далее считать веса wt положительными числами.
Теорема. Пусть / — невырожденный квазиоднородный многочлен веса 1. Тогда дифференциальная форма /% dx (где dx = = dxx Д . . . Д dxn и h — голоморфная в окрестности нуля функция, в нуле не равная 0) приводится биголоморфной в окрестности нуля заменой координат к виду /Р (1 + ср) dx, где ср — квазиоднородный многочлен веса — ? — о, с = If1 + • • • + wn.
Бес'ф определяется так, чтобы вес формы /ftp dx был нулем.
Аналогичная теорема верна для гладких h (и гладких замен координат), но в вещественном случае вместо 1 + ф следует поставить ±1 + ф (УМН. — 1984. — Т. 39, вып. 5. — С. 256).
Пример 1. Если ? положительно, то ф = 0, так что комплексная форма приводится к виду pdx.
Более общим образом, ф == 0, если (вообще комплексное) число ? не является отрицательным рациональным числом: в этом случае ненулевых квазиоднородных многочленов веса — ? — о не бывает. Таким образом, резонансными значениями ? являются лишь рациональные отрицательные числа. Если многочлен / (или хотя бы его тип квазиоднородности w) фиксирован, то резонансные значения ? образуют конечное число отрицательных рациональных арифметических прогрессий (для остальных ? форма fih dx приводится к виду ftdx).
Пример 2. Если ? = —1, то одночлены, входящие в ф, нумеруются внутренними целыми точками диаграммы Ньютона /. Одночлену хт = ж"1 . . . Хпп отвечает на диаграмме точка (тх + + 1, . . ., тп + 1) (показатель формы xmdx).
Пример 3. Пусть ? = —1, п = 3 и / — один из приведен, ных выше многочленов A, D, Е, определяющих простые особенности. Вычисляя веса, находим — ? — о < 0, поэтому ф = 0, откуда вытекает
430
добавление 13
Следствие 1. Форма с полярной особенностью h(x, у, г) da: Д dy/\dz J1IQ)^Q
где f — один из многочленов A, D, Е, приводится к виду dx Д dy Д Д dzlf голоморфной (гладкой...) заменой координат.
Точно так же при любом п > 3 множитель h (X1, . . ., хп)г не обращающийся в 0 в начале координат, можно обратить в единицу.
Следствие 2. Простые (не имеющие модулей) формы вида dxx Д . . . Д dxjf (X1, . . ., хп), где f — голоморфная (гладкая...) в 0 функция и п)>2, приводятся в окрестности точки О к нормальной форме, в которой f — либо 1, либо — один из многочленов A, D1 Е, подходящим выбором локальных координат.
Следствие 3. Простые (не имеющие модулей) п-вектор-ные поля в n-мерном пространстве (п ^> 2) локально эквивалентны-нормальным формам /•(O1 Д . . . Д дп), где f — либо 1, либо — один из многочленов A, D, Е; dk = д/дхц.
Следствие 4. При I ^ 6 в I- параметр ических семействах: общего положения п-векторных полей в n-мерном пространстве (п ^> 2) поле в окрестности каждой точки при каждом значении параметра эквивалентно одному из простых полей предыдущего1 следствия.
Следствие 5. При I ^ 6 в l-параметрических семействах общего положения форм dx Д dy Д dzlf (х, у, z) встречаются лишь формы, которые в окрестности каждой точки в подходящих: координатах записываются в одном из 24 видов:
dx Д dy Д dz dx Д dy Д dz dx f\dy Д dz dx Д dy Д dz 1 ' X ' x* + y2±z* ' x* + y2±z* »
dx /\dy Д dz dx [\dy f\ dz dx f\dy Д dz dx /\dy Д dz *4±2/2±zSa ' z5+2/2±z2 ' xe±у2±za »
dx /\dy Д dz dx /\dy /\ dz dx /\'dy Д dz dx /\dy /\ dz x2V + y*±z* » ж7 + 2/г±г2 ' Z2J/± у6+ z2 ' "s3+y*±z2 *
При n = 2, ? = —1 теорема принимает такой вид: Следствие 6. Пусть f — невырожденный квазиоднородный многочлен веса 1 при весах аргументов W1, W2. Тогда форма
lh(x, y)dx/\dy 0 Г1
t7-t •, Ife(OeU)=5fcU,
/ (ж, у)
гое /г — гладкая (голоморфная...) в окрестности точки 0 функция приводится к виду, в котором h = ±1 + ф» где ф — квазиоднородный многочлен веса 1 — W1 — W2, при помощи гладкой (голоморфной...) в окрестности точки 0 замены координат.
ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ
