Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Например, вложение симплектического листа в пуассоново многообразие является пуассоновым отображением.
Прямое произведение пуассоновых многообразий имеет естественную пуассонову структуру, в которой проекции на оба сомножителя пуассоновы (скобки Пуассона функций, перенесенных с разных сомножителей, нулевые).
С. Ли доказал, что всякое пуассоново многообразие локально (в окрестности точки, где размерности симплектических листов постоянны, например — в окрестности точки общего положения, где размерности максимальны) разлагается в прямое произведение симплектического листа и дополнительного пространства, на котором все скобки Пуассона нулевые.
В такой окрестности можно ввести координаты pt, qt, с7- так, что р и q имеют обычные симплектические скобки Пуассона, а скобки Пуассона каждой из функций Cj со всеми функциями тождественно равны 0. В физике координатыpt, qt называются переменными Клебша, а функции С] — функциями Казимира (Клебш ввел свои переменные для гамильтонова описания гидродинамики идеальной жидкости, а Казимир рассматривал центр алгебры Ли функций на дуальном пространстве исходной алгебры Ли).
Размерности симплектических листов пуассонова многообразия в точках не общего положения меньше, чем в точках общего положения. В окрестности такой точки пуассоново многообразие
ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ
425
все равно можно представить в виде прямой суммы окрестности этой точки на ее симплектическом листе и окрестности отмеченной точки на некотором пуассоновом многообразии дополнительной размерности. Иными словами, на минимальном трансверсальном к симплектическому листу сечении возникает (единственная с точностью до диффеоморфизма) локальная пуассонова структура — так называемая трансверсалъная пуассонова структура (см.: Weinstein A. The local structure, of Poisson manifolds Il J. Diff. Geom.- 1983.- V. 18.— P. 523-557) *). В трансвер-сальной структуре скобки Пуассона всех функций в отмеченной точке (начале координат) равны нулю. Структура задается скобками Пуассона координат. Ряды Тейлора этих скобок начинаются с
{xii xj) = Sci, ixk 4" • • •i
где Ci1 j — структурные константы конечномерной алгебры Ли (линеаризованной трансверсалъной структуры).
Возникает естественный вопрос: можно ли уничтожить высшие члены ряда Тейлора за счет подходящего выбора системы координат?
Вопрос о строении трансверсальных структур обсуждался уже давно (см., например, п. 3 § 1 гл. VI цитированной выше статьи в УМН, 1963, т. 18, вып. 6).
Если линеаризованная алгебра полупроста, а структура Пуассона аналитична, то от высших членов ряда Тейлора можно избавиться аналитической заменой координат; см.: ConnJ. Linearization of analytic Poisson structures Il Annals of Math. — 1984.— V. 119.— P. 577—601. Аналогичный результат справедлив в гладком случае при условии компактности группы Ли.
A. Вейнстейн, ранее доказывавший аналогичный результат для формальных рядов, высказал гипотезу, что полупростота необходима для такой уничтожимости нелинейных членов ряда. Исследование особенностей пуассоновых структур на плоскости (а значит, и вообще структур коранга 2) приводит, однако, к другому выводу.
B. Пуассоновы структуры на плоскости. С точки зрения дифференциальной геометрии пуассонова структура задается гладким бивекторным полем на многообразии. Действительно, скобка Пуассона в каждой точке сопоставляет число паре кокасательных векторов. Поэтому она является сечением расслоения внешних квадратов касательных пространств, т. е. бивекторным полем.
Тождество Якоби означает своего рода «замкнутость» этого бивекторного поля. На двумерном многообразии это условие замкнутости всегда выполнено автоматически, так что любое гладкое бивекторное поле на плоскости задает пуассонову структуру. Это обстоятельство позволяет применять при классификации пуассо-
*) Предостережение: теорема 3.1 этой работы неверна (А. Б. Гивенталь).
426
ДОБАВЛЕНИЕ 13
!новых структур на плоскости обычные соображения общего поло-жепия (трансверсальность и т. п.). Через координаты х, у бивек-торное поле выражается формулой /• (дх Д ду), где / — гладкая функция. Соответствующая пуассонова структура определяется условием
{х, У) = f (я, У)- (1)
Пуассонову структуру на плоскости можно задать и дифференциальной 2-формой dx Д dylf. Эта форма, как и бивекторное доле, инвариантно связана с пуассоновой структурой, но имеет, в отличие от него, на кривой / = О полярную особенность. Листы в этом случае — точки кривой / = 0 и компоненты дополнения к этой кривой на плоскости. Точки кривой / = 0 называются особыми точками пуассоновой структуры. В окрестности неособой точки пуассонова структура на плоскости приводится к нормальной форме {х, у} = 1.
Начало иерархии особенностей пуассоновых структур на плос-жости в окрестности особой точки таково:
-Здесь буквы означают пуассоновы структуры, которые в окрестности изучаемой особой точки записываются в подходящей системе локальных координат с началом в этой точке в виде {х, у) = /, <где функция / дается следующей таблицей:
