Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В настоящем добавлении перечислены простейшие элементарные свойства пуассоновых структур на конечномерных многообразиях. Но нужно иметь в виду, что в приложениях (особенно в математической физике сплошной среды) часто встречаются и пуассоновы структуры на бесконечномерных многообразиях. При этом, впрочем, размерности или коразмерности листов часто (хотя и не всегда) конечны.
А. Пуассоновы многообразия. Пуассоновой структурой на многообразии называется структура алгебры Ли в пространстве гладких функций на нем (т. е. билинейная кососимметрическая операция «скобки Пуассона» функций, удовлетворяющая тождеству Якоби), такая, что оператор adc= {а, } (взятие скобки Пуассона с любой функцией с) является оператором дифференцирования по направлению некоторого векторного поля va.
Векторное поле va называется тогда гамилътоновым полем с функцией Гамильтона а. Отображение a*-*- va задает гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей. Многообразие, снабженное пуассоновой структурой, называется пуас-соновым многообразием.
Две точки на пуассоновой многообразии называются эквивалентными, если их можно соединить ломаной ив отрезков фазовых кривых гамильтоновых полей. Классы эквивалентных друг ДРУГУ точек называются листами пуассонова многообразия.
Векторы всевозможных гамильтоновых полей в каждой точке пуассонова многообразия заполняют линейное пространство, а именно касательное пространство листа. Таким образом, листы —
ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ
423
гладкие многообразия, но они, вообще говоря, не замкнуты и имеют различные размерности.
Классический (явно указанный С. Ли, 1890, но по существу рассматривавшийся уже Якоби) пример пуассонова многообразия — дуальное пространство (конечномерной) алгебры Ли. Элементы самой алгебры можно рассматривать как линейные функции на этом пространстве. Пуассонова структура определяется как продолжение структуры алгебры Ли с этого конечномерного подпространства пространства гладких функций (на дуальном исходной алгебре Ли пространстве) на все пространство гладких функций. Такое продолжение существует и единственно: если O1, . . ., Oin — базис исходной алгебры Ли, то
{a, &}poisson = S (да/доіі) (dbldatj) [at, о^ие.
В этом примере листы — орбиты коприсоединенного представления группы Ли в дуальном к ее алгебре пространстве.
Каждый лист пуассонова многообразия имеет естественную симплектическую структуру (замкнутую невырожденную на листе 2-форму). Эта форма определяется так. Рассмотрим два вектора гамилътоновых полей, приложенные в одной точке листа. Значение 2-формы на этой паре векторов определяется как значение скобки Пуассона их функций Гамильтона в указанной точке (это значение не зависит от выбора функций Гамильтона, но лишь от векторов). Замкнутость формы на листе следует из тождества Якоби, невырожденность — из равенства нулю вектора, вдоль которого производная любой функции равна нулю. Фазовые потоки гамилътоновых полей сохраняют симплектические формы листов.
Таким образом, листы пуассонова многообразия четномерны, и его можно рассматривать как объединение симплектических многообразий (вообще разных размерностей), симплектические структуры которых согласованы условием гладкости объединяющей скобки Пуассона.
Например, на орбитах коприсоединенного представления группы S0(3) (сферах с центром в нуле) можно выбрать согласованные локальные координаты Дарбу: в окрестности ненулевой точки структура Пуассона в подходящих локальных координатах принимает вид {х, у) = 1, {х, z} = {у, z) = 0. Эта нормальная форма структуры Пуассона пространства моментов полезна для исключения узла в задаче многих тел (см. п. 5 § 5 гл. III в статье: Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6).
Якоби заметил, что скобку Пуассона (классическую) первых интегралов любой гамильтоновой системы можно рассматривать как структуру Пуассона (эта структура обсуждается в п. 3 § 1 гл. VI той же статьи).
424
ДОБАВЛЕНИЕ 13
Конструкция пуассоновой структуры на пространстве, дуальном алгебре Ли, приводит опять к алгебре Ли. Поэтому эту конструкцию можно повторять, получая все новые (бесконечномерные) пуассоновы структуры. Более общим образом, пусть дана какая-нибудь пуассонова структура на многоооразии. Тогда пространство функций на этом многообразии получает структуру алгебры Ли. Значит, пространство, дуальное к пространству функций, наделяется пуассоновой структурой (как дуальное пространство этой алгебры Ли функций). Элементы пространства, дуального к пространству функций, интерпретируются как распределения на исходном многообразии. Таким образом, пространство распределений на пуассоновой многообразии (например, на симплектической фазовом пространстве) имеет естественную пуассонову структуру. Эта структура позволяет применять гамильтонов формализм к уравнениям типа Власова, описывающим эволюцию распределения частиц в фазовом пространстве под действием поля, созданного самими частицами.
Б. Пуассоновы отображения. Пусть даны два пуассоновых многообразия. Отображение первого во второе называется пуас-соноеым, если оно уважает пуассоновы структуры. А именно, для любой пары функций на втором многообразии их скобка Пуассона, после перенесения отображением на первое многообразие,, должна совпадать со скобкой Пуассона на первом многообразии перенесений самих исходных функций.
