Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Лагранжевы особенности — это особенности проекций лагран-жевых многообразий на конфигурационное пространство. Такие особенности встречаются при исследовании решений уравнения Гамильтона — Якоби в целом, при изучении каустик, фокальных или сопряженных точек, при анализе распространения разрывов и ударных волн в механике сплошной среды, а также в задачах, приводящих к коротковолновой асимптотике (см. добавление 11).
Чтобы описать лагранжевы особенности, нужно вначале сказать несколько слов об особенностях гладких отображений вообще. Начнем с простейших примеров.
А. Особенности гладких отображений поверхности на плоскость. Отображение проектирования сферы на плоскость имеет особенность на экваторе сферы (в точках экватора ранг производной падает на единицу). В результате на плоскости проекции образуется кривая (так называемый ВИДИ- Рис. 245. Сборка Уитни
мый контур), разграничивающая области с разным числом прообразов точки: у каждой точки плоскости внутри видимого контура два прообраза, а вне — ни одного.
В более сложных случаях «видимый контур» может иметь более сложные особенности. Рассмотрим, например, поверхность,
416
ДОБАВЛЕНИЕ 12
заданную в трехмерном пространстве с координатами (х, у, z) уравнением (рис. 245)
X = yz — z3
и отображение проектирования параллельно осп z на плоскость с координатами (х, у).
Особые точки проектирования образуют на поверхности гладкую кривую (с уравнением 3z2 = у). Однако образ этой кривой на плоскости (х, у) уже не является гладкой кривой. Этот образ — полукубическая парабола с острием в точке (0, 0) с уравнением
27х2 = Ay3.
Такая кривая разделяет плоскость на две части: меньшую (внутри острия) и большую (вне). Над каждой точкой меньшей части имеются три точки нашей поверхности, а большей — всего одна.
Рассмотрим теперь любую малую деформацию нашей поверхности. Оказывается, при проектировании всякой поверхности, близкой к нашей, видимый контур всегда будет иметь подобную же особенность (полукубическое острие) в некоторой точке, близкой к особенности видимого контура исходной поверхности. Иными словами, рассматриваемая особенность неустранима малым шевелением поверхности.
Более того, вместо деформации поверхности можно как угодно деформировать само отображение поверхности на плоскость (не заботясь более, чтобы оно было проектированием), лишь бы оно оставалось гладким и деформация была мала. Оказывается, и при таких деформациях острие не исчезает, а лишь слегка деформируется.
Приведенные здесь примеры исчерпывают все типичные особенности отображений поверхности на плоскость. Можно показать, что все более сложные особенности устранимы малым шевелением . Поэтому, слегка продеформировав любое гладкое отображение . можно всегда добиться того, что в окрестности любой точки отображаемой поверхности оно будет либо неособым, либо будет устроено как отображение проектирования сферы на плоскость близ экватора, либо как отображение проектирования рассмотренной выше поверхности с кубическим острием на видимом контуре.
Слова «устроено как» означают, что на поверхности-прообразе и плоскости-образе можно выбрать локальные координаты (в окрестности рассматриваемой точки и ее образа) так, что в этих координатах отображение запишется некоторым специальным образом. А именно, нормальные формы, к которым приводится отображение поверхности на плоскость в окрестности точек трех указанных выше типов, суть
Уі = Sil У a = х2 (неособая точка),
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
417
уг = X1, у2 = X2 (складка, как на экваторе сферы),
JZ1 = X1X2 — х\, у2 = X2 (сборка с острием видимого контура).
Здесь (хг, х2) — локальные координаты в прообразе, a (уи у2) —
в образе.
Доказательства приведенных теорем (они принадлежат X. Уитни) и их многомерные обобщения можно найти в работах по теории особенностей гладких отображений, см., например:
Арнольд В. И., Варченко A. H., Г у с е й н-3 а д е СМ. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1.— M.: Наука, 1982; Т. 2— M.: Наука, 1984.
То м Р.,Левин Г., Мазер Дж. и др. Особенности дифференцируемых отображений.— M.: Мир, 1968.
Б. Особенности проектирования лагранжевых многообразий.
Рассмотрим теперь и-мерное конфигурационное многообразие, соответствующее 27г-мерное фазовое пространство и в нем «-мерное лагранжево подмногообразие (т. е. и-мерное подмногообразие, на котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю).
Проектируя лагранжево многообразие на конфигурационное пространство, мы получаем отображение одного гладкого и-мер-ного многообразия на другое той же размерности.
В общей точке это отображение является локальным диффеоморфизмом, однако в некоторых точках лагранжева многообразия ранг дифференциала падает. Такие точки называются особыми. При проекции множества особых точек в конфигурационном пространстве образуется «видимый контур», который в лагранжевом случае называется каустикой.
Каустики могут иметь сложные особенности, однако, как и в обычной теории особенностей гладких отображений, от слишком сложных особенностей можно избавиться малым шевелением. (Здесь под малым шевелением подразумевается такая малая деформация лагранжева многообразия в фазовом пространстве, при которой это многообразие остается лагранжевым).
