Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 164

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 195 >> Следующая


Задача. Расклассифицировать собственные колебания системы с симметрией правильного треугольника (допускающей не только повороты на 120°, но также отражения относительно высот треугольника).

Задача. Расклассифицировать собственные колебания системы, группа симметрии которой есть группа из 24 вращений куба.

Ответ. Колебания бывают пяти типов. При вращениях из каждого-колебания может получиться система из 8, либо 6, либо 4, либо 2, либо 1 независимого колебания (в последнем случае колебания полностью симметричны).

3 амечание. Для классификации колебаний в системах с любыми группами симметрии разработан специальный аппарат (так называемая теория представлений групп). См., например, Л ю б а р с к и й Г. Я. Теория групп и ее применение в физике.— M.: Физматгие, 1958, где имеются необходимые таблицы.

Г. Поведение частот симметричной системы при изменении параметров, сохраняющем симметрию. Предположим теперь, что наша симметричная система зависит общим образом от некоторого числа параметров, причем симметрия не нарушается при изменении параметров. Тогда собственные частоты различных кратностей также будут зависеть от параметров, и возникает вопрос о столкновениях собственных частот. Я ограничусь формулировкой результата для простейшего случая систем с поворотной симметрией третьего порядка (для поворотной симметрии любого порядка п 3 ответ такой же). Подробности можно найти в статьях: Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 2.— С. 12—20; КарпушкинВ. Н. Об асимптотике собственных чисел симметричных многообразий и о «наиболее вероятных» представлениях конечных групп // Вестник МГУ. Сер. матем.— 1974.— № 2.— С. 8-13.

Собственные колебания любой системы с поворотной симметрией третьего порядка делятся на два типа: симметричные колебания и колебания, переходящие при повороте на 120° в независимые с исходным. Для общей системы с поворотной симметрией третьего порядка (не имеющей, в частности, никакой дополнительной симметрии) все собственные частоты первого типа просты, а второго — двукратны.

Далее оказывается, что если система зависит общим образом от одного параметра и симметрична при всех значениях параметра, то при изменении параметра собственные частоты симметричных колебаний не сталкиваются друг с другом, а двукратные собственные частоты несимметричных колебаний не распадаются. Кроме того, двукратные собственные частоты несимметричных колебаний не сталкиваются друг с другом при изменении параметров. Однако собственные частоты симметричных и несимметричных колебаний движутся при изменении параметра

404

ДОБАВЛЕНИЕ 10

независимо друг от друга, так что при отдельных значениях параметра могут сталкиваться (и проходить друг сквозь друга) собственная частота симметричного колебания и (двукратная) собственная частота несимметричного колебания.

Чтобы столкнулись две собственные частоты симметричных -колебаний, нужно менять как минимум два параметра, а две собственные частоты несимметричных колебаний — минимум три.

Вообще, чтобы в типичном семействе систем с поворотной симметрией третьего порядка встречались системы, соответствующие столкновению і простых собственных частот (і симметричных колебаний) и / двукратных (/ несимметричных колебаний), число параметров семейства должно быть не менее, чем

(/ - I)(I + 2)12 + f.

Применим сказанное к колебаниям симметричных мембран. Здесь мы будем считать, что мембране общего вида, выдерживающей поворот на 120°, соответствует эллипсоид общего вида в пространстве эллипсоидов конфигурационного пространства, выдерживающих индуцированное поворотом мембраны преобразование конфигурационного пространства.

Точная формулировка этого предположения заключается в трансверсальности отображения пространства симметричных мембран в пространство симметричных эллипсоидов к многообразиям эллипсоидов с различными числами кратных осей для всех мембран, исключая множество коразмерности бесконечность.

Если согласиться с этим предположением, то мы приходим к следующим выводам о колебании симметричных мембран.

1. Для мембран общего вида, выдерживающих поворот на 120°, асимптотически треть собственных частот (считая их с кратностями) простая и соответствующие собственные колебания выдерживают поворот на 120°. Остальные собственные частоты двукратные, каждой двукратной собственной частоте соответствуют три собственные функции, в сумме равные нулю и переходящие друг в друга при повороте на 120°.

2. В однопараметрических семействах общего вида таких симметричных мембран встречаются пои изолированных значениях параметров столкновения однократной частоты с двукратной, но не встречаются ни столкновения однократных частот друг с другом, ни столкновения друг с другом двукратных частот.

3. Минимальное число параметров семейства мембран, в котором реализуются (неустранимо посредством сохраняющего симметрию малого шевеления) более сложные столкновения собственных частот, дается формулой

S [(i-l)(i + 2)/2+/2] vl3,

Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed