Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
коротковолновые асимптотики
407
это первое приближение, хорошо описывающее явления, лишь когда длина волны мала по сравнению с размерами рассматриваемых тел.
Математическим вариантом этих физических представлений являются асимптотические формулы для решений соответствующих дифференциальных уравнений, формулы, которые дают тем яучшее приближение, чем выше частота колебаний (т. е. чем короче волны). Эти асимптотические формулы записываются в терминах лучей (т. е. движений в некоторой гамильтоновой динамической системе) или фронтов (т. е. решений уравнения Гамильтона — Якоби).
Подобная коротковолновая асимптотика существует для решений многих уравнений математической физики, описывающих всевозможные волновые процессы. При этом в разных областях физики и математики ее связывают с различными именами. Например, в квантовой механике коротковолновая асимптотика называется квазиклассическим приближением, а ее отыскание — методом ВКБДж (Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна, Джефриса), хотя гораздо раньше этим приближением пользовались, например, Лиувилль, Грин, Стоке и Релей.
Построение коротковолновой асимптотики основано на представлении, что локально в каждом месте наблюдается ряд почти строго синусоидальных волн, однако амплитуда этих волн и направление их фронтов медленно меняются от точки к точке. Формальная подстановка функции такого вида в уравнение с частными производными, описывающее волновой процесс, приводит (в первом приближении при малой длине волны) к уравнению Гамильтона — Якоби для волновых фронтов. Следующие приближения позволяют определить также и зависимость амплитуды колебаний от точки.
Конечно, вся процедура требует математического обоснования. Точная формулировка и доказательство соответствующих теорем совсем не просты. Особенно большие затруднения вносят так называемые каустики (иначе — фокальные или сопряженные точки, или точки поворота).
Каустики — это огибающие семейств лучей; их мояшо видеть на стене, освещенной лучами, отраженными от какой-либо гладкой кривой поверхности. Если лучи, возникающие при описании волн, пересекаются и образуют каустики, то вблизи каустик формулы коротковолновой асимптотики должны быть несколько изменены. А именно, фаза колебаний вдоль каждого луча испытывает стандартный разрыв (на четверть волны) при каждом прохождении луча у каустики.
Точное описание всех этих явлений удобно проводить в терминах геометрии лагранжевых подмногообразий соответствующего фазового пространства и их проекций на конфигурационное пространство.
408
ДОБАВЛЕНИЕ 11
Каустики интерпретируются при этом как особенности проекции лагранжева многообразия, задающего семейство лучей, из фазового пространства в конфигурационное. Таким образом, нормальные формы особенностей лагранжевых проекций, приведенные в добавлении 12, доставляют, в частности, классификацию особенностей каустик, образованных системами лучей «общего положения».
В настоящем добавлении приведены (без доказательств) простейшие формулы коротковолновой асимптотики для квантово-механического уравнения Шредингера. Более подробное изложение имеется в следующих местах:
Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов.— M.: Мир, 1965 (см. особенно Дополнение II в книге Хединга);
M а с л о в В. П. Теория возмущений и асимптотическое методы.— M.: Изд-во МГУ, 1965;
Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условия квантования // Функциональный анализ и его приложения.— 1967.— Т. 1, вып. 1.— С. 1—14;
Хермандер Л. Интегральные операторы Фурье // Математика.— 1972.— Т. 16, № 1.— С. 17—61; 1972.— Т. 2, № 2.— С. 67—136; Acta Ma-thematica.— 1971.— V. 127, № 1—2.— С. 119.
А. Квазиклассическое 'приближение для решений уравнения Шредингера. Уравнением Шредингера для частицы в поле с потенциалом U в евклидовом пространстве называется уравнение относительно комплексной функции г|) (q, t)
Здесь h — некоторая вещественная постоянная, которая и является малым параметром рассматриваемой задачи. А — оператор Лапласа.
Предположим, что начальное условие имеет коротковолновый
вид
.і / ч 4"8^ я|5|«=о = q>(q)eh ,
где гладкая функция ф отлична от нуля лишь внутри некоторой ограниченной области. Мы укажем ниже асимптотическую (при h -*- 0) формулу для решения уравнения Шредингера с таким начальным условием.
Прежде всего рассмотрим движение классической "частицы в поле с потенциалом U1 т. е. рассмотрим уравнения Гамильтона
dff . дН „ 1 „ . ,,, .
Q = -gp-> Р=--вГ» r«e H=^-p*+U{q)
в 2и-мерном фазовом пространстве. Решения этих уравнений определяют фазовый поток (при некоторых условиях на потенциал, которые мы предположим выполненными; эти условия запрещают уход на бесконечность за конечное время).
КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ
409
Нашим коротковолновым начальным условиям мы сопоставим лагранжево подмногообразие в фазовом пространстве (т. е. многообразие, размерность которого равна размерности конфигурационного пространства и на котором обращается тождественно в нуль 2-форма dp Д dq, задающая симплектическую структуру в фазовом пространстве). А именно, мы определим «импульс», соответствующий нашему начальному условию, как градиент фазы, т. е. положим
