Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Резюмируя, мы можем сказать, что типичное однопараметри-ческое семейство эллипсоидов (или квадратичных форм в евклидовом пространстве) не содержит эллипсоидов вращения (квадратичных форм с кратным спектром). Применительно к эллипсоиду инерции получаем приведенный выше вывод о необходимости двух юстировочных масс.
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
397
Обратимся теперь к двупараметрическим семействам. Из наших подсчетов следует, что в типичных двупараметрических семействах эллипсоиды вращения встречаются лишь в отдельных изолированных точках плоскости параметров.
Рассмотрим, например, выпуклую поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Вторая квадратичная форма поверхности определяет эллипс в касательном пространстве в каждой точке. Поэтому возникает двупара-метрическое семейство эллипсов (которые можно перенести в одну плоскость г выбрав вблизи точки на поверхности локальную систему координат). Мы приходим к выводу, что в каждой точке поверхности, кроме отдельных изолированных точек, эллипс имеет оси разной длины. Следовательно, на поверхности общего вида возникает два ортогональных поля направлений (больших и малых осей эллипсов) с изолированными особыми точками. В дифференциальной геометрии эти направления называются направлениями главных кривизн, а эти особые точки — омблическими точками. Например, на поверхности эллипсоида имеется четыре омблические точки; они лежат на содержащем большую и малую оси эллипсе и две из них хорошо еидиы на рисунке геодезических на эллипсоиде (см. рис. 207).
Точно так же в типичном т рехпараметрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются лишь на отдельных линиях в трехмерном пространстве параметров. Например, еслп в каждой точке трехмерного евклидова пространства задан эллипсоид (т. е. задан симметричный двухиндексный тензор), то особенности полей главных осей будут, вообще говоря, на отдельных линиях (где два из трех полей направлений терпят разрыв).
Эти линии, как и омблические точки в предыдущем примере, бывают нескольких различных типов. Их классификацию (для типичных полей эллипсоидов) можно получить из классификации особенностей лагранжевых проекций, приведенной в добавлении 12.
В типичном четырехпараметрическом семействе эллипсоиды вращения встречаются на двумерных поверхностях пространства параметров. Эти поверхности не имеют особенностей, кроме транс-версальных пересечений в отдельных точках пространства параметров; этим значениям параметров отвечают эллипсоиды с двумя (разными) парами равных осей.
Трехкратная ось появляется впервые при пяти параметрах, в отдельных изолированных точках пространства параметров. Значения параметров, соответствующие эллипсоидам с двукратной осью, образуют в пятимерном пространстве параметров трехмерное многообразие с особенностями двух типов: трансверсаль-ными пересечениями двух ветвей вдоль некоторой кривой и коническими особенностями в отдельных (не лежащих на этой кривой)1 точках, а именно в точках пространства параметров, соответствующих эллипсоидам с трехкратной осью.
Указанная коническая особенность устроена так, что при пересечении четырехмерной сферой малого радиуса с центром в особой точке получаются два экземпляра проективной плоскости. Возникающие вложения проективной плоскости в четырехмерную сферу диффеоморфны вложению, которое
398
ДОБАВЛЕНИЕ 10
задается пятью сферическими функциями второй степени на двумерной сфере ¦(пять ортонормированных в пространстве функций на сфере х\ + х\ + г| = 1 линейных комбинаций функций nzj, ортогональных единице, задают четное отображение Sz-* S* и, следовательно, вложение RP2-» S4).
Полезно разобраться еще, как ведут себя собственные числа квадратичной формы из типичного двупараметрического семейства при подходе к особой точке, где два собственных числа совпадают. Небольшое вычисление показывает, что график указанной пары собственных чисел имеет над плоскостью параметров вблизи особой точки вид двуполого конуса, вершина которого отвечает особой точке, а каждая из половин — одному из собственных чисел (рис. 243).
Типичное одномерное подсемейство нашего двумерного семейства имеет вид кривой в плоскости параметров, не проходящей через особую точку. Всякое одномерное подсемейство, содержащее особую точку, можно сдвинуть с нее малым шевелением,
причем получающееся одно-
U
U
Рис. 243. Собственные частоты одно- и двух-параметрических семейств колебательных систем общего вида
мерное семейство будет кривой в пространстве параметров, проходящей близко от особой точки. График собственных чисел над кривой на плоскости параметров, проходящей вблизи особой точки, состоит из тех точек конуса, которые проектируются на эту кривую. Следовательно, указанный график вблизи особой точки близок к гиперболе, похожей на пару пересекающихся прямых (пара прямых получилась бы, если бы наше однопараметрическое семейство проходило через особую точку).
Приведенное рассуждение о собственных числах двупарамет-рических семейств квадратичных форм объясняет странное поведение собственных частот при изменении одного параметра: вообще говоря (исключая случаи совершенно особые) при изменении одного параметра собственные частоты могут подходить близко друг к другу, но не могут обгонять друг друга, а должны, сблизившись, снова разойтись в разные стороны.
