Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Ф (z) == Ф' (g (z)) + const.
Доказательство см. в статье: Weinstein A. The invariance of Poincare's generating function for canonical transformations Il Inventiones Mathematicae.— 1972.— V. 16, № 3.— P. 202—214.
*) Приращение этой функции вдоль какой-либо дуги равно интегралу формы, задающей симплектическую структуру по полоске, образованной прямолинейными отрезками, соединяющими каждую точку с ее образом. Поэтому такая функция Ф связана с отображением инвариантно относительно линейных канонических замен координат.
dXH + dxk dYH + dyK
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
393
Следует заметить, что два диффеоморфизма с эквивалентными в окрестности неподвижной точки производящими функциями не обязательно эквивалентны в классе симплектических диффеоморфизмов.
Предположения, высказанные в первом издании этой книги в виде гипотез, для торов и двумерных многообразий теперь доказаны. См.: С о п 1 е у С. С, ZehnderE. The Birkhoff — Lewis fixed point theorem and a conjecture of V. I. Arnold Il Invent. Math.— 1983.— V. 73.— P. 33—49; Landenbach F., Sicc-r a V J. C. Persistence d'intersection avec la section nulle au cours d'une isotopie hamiltonienne dans un fibre cotangent Il Invent Math.— 1985.— V. 82.— P. 349—358; см. также: A p н о л ь д В. И. Первые шаги симплектической топологии//УMH.— 1985.— Т. 41, JY° 6.— С. 3—18. Развивающие эту тему работы Хофера, Флоера, Громова, Элиашберга, Витербо, Вейнстейна, Гивенталя и др. уже могли бы составить целую книгу.
Добавление 10
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ П ЭЛЛИПСОИДЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Семейства эллипсоидов в евклидовом пространстве встречались нам несколько раз в этом курсе. Например, при изучении зависимости собственных частот малых колебаний от параметров мы встречались с зависящим от жесткости системы эллипсоидом уровня потенциальной энергии в евклидовом пространстве (метрика пространства определяется кинетической энергией). Другой пример — эллипсоид инерции твердого тела (параметры здесь — форма твердого тела и распределение масс в нем).
Здесь мы рассмотрим общий вопрос о том, при каких значениях параметров спектр собственных чисел вырождается, т. е. соответствующий эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Заметим, что собственные числа квадратичной формы в евклидовом пространстве (или длины осей эллипсоида) непрерывно меняются при непрерывном изменении параметров системы (коэффициентов формы). Кажется естественным ожидать, что в зависящей от одного параметра системе при изменении параметра в отдельные моменты одно из собственных чисел будет сталкиваться с другим, так что при отдельных значениях параметра система будет иметь кратный спектр.
Представим себе, например, что мы хотим превратить эллипсоид инерции твердого тела в эллипсоид вращения, перемещая по жестко закрепленной в теле штанге одну юстировочную массу, так что в нашем распоряжении имеется один параметр. Три главные оси инерции а, Ъ, с будут непрерывными функциями от этого параметра, и на первый взгляд кажется, что при надлежащем
394
ДОБАВЛЕНИЕ 10
значении параметра (р) можно добиться равенства двух осей,-скажем а(р) = Ъ (р).
Оказывается, однако, что дело обстоит в действительности не так и что, вообще говоря, нужно перемещать не менее двух котировочных масс, чтобы сделать эллипсоид инерции эллипсоидом вращения.
Вообще, кратный спектр в типичных семействах квадратичных форм наблюдается лишь при двух или более параметрах, а в однопараметрических семействах общего вида спектр при всех значениях параметра простой. Практически это проявляется в том, что при изменении параметра в типичном однопара-метрическом семействе собственные числа могут тесно сближаться, но, подойдя достаточно близко одно к другому, как бы начинают отталкивать друг друга и снова расходятся, обманув надежду меняющего параметр лица добиться кратного спектра.
В настоящем добавлении рассматриваются причины этого странного на первый взгляд поведения собственных чисел, а также коротко обсуждаются аналогичные вопросы для систем с различными группами симметрии.
А. Многообразие эллипсоидов вращения. Рассмотрим множество всевозможных квадратичных форм в евклидовом п-мерном пространстве Rn. Это множество само имеет естественную структуру линейного пространства размерности п (п -f- 1)/2. Например, все квадратичные формы на плоскости образуют трехмерное пространство (форма Ax2 + 2Вху + Cy2 имеет координатами три числа А, В, С).
Положительно определенные формы образуют в этом пространстве квадратичных форм открытую область (например, в случае плоскости это внутренность одной из пол конуса В2 = АС, образованного вырожденными формами).
Каждый эллипсоид с центром в начале координат задает положительно определенную квадратичную форму, для которой он является множеством уровня 1; обратно, множество уровня 1 любой положительно определенной квадратичной формы является эллипсоидом. Мы можем, следовательно, отождествить множества положительно определенных квадратичных форм и эллипсоидов с центром в начале координат.