Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 159

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 195 >> Следующая


Ф (z) == Ф' (g (z)) + const.

Доказательство см. в статье: Weinstein A. The invariance of Poincare's generating function for canonical transformations Il Inventiones Mathematicae.— 1972.— V. 16, № 3.— P. 202—214.

*) Приращение этой функции вдоль какой-либо дуги равно интегралу формы, задающей симплектическую структуру по полоске, образованной прямолинейными отрезками, соединяющими каждую точку с ее образом. Поэтому такая функция Ф связана с отображением инвариантно относительно линейных канонических замен координат.

dXH + dxk dYH + dyK

КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

393

Следует заметить, что два диффеоморфизма с эквивалентными в окрестности неподвижной точки производящими функциями не обязательно эквивалентны в классе симплектических диффеоморфизмов.

Предположения, высказанные в первом издании этой книги в виде гипотез, для торов и двумерных многообразий теперь доказаны. См.: С о п 1 е у С. С, ZehnderE. The Birkhoff — Lewis fixed point theorem and a conjecture of V. I. Arnold Il Invent. Math.— 1983.— V. 73.— P. 33—49; Landenbach F., Sicc-r a V J. C. Persistence d'intersection avec la section nulle au cours d'une isotopie hamiltonienne dans un fibre cotangent Il Invent Math.— 1985.— V. 82.— P. 349—358; см. также: A p н о л ь д В. И. Первые шаги симплектической топологии//УMH.— 1985.— Т. 41, JY° 6.— С. 3—18. Развивающие эту тему работы Хофера, Флоера, Громова, Элиашберга, Витербо, Вейнстейна, Гивенталя и др. уже могли бы составить целую книгу.

Добавление 10

КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ П ЭЛЛИПСОИДЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Семейства эллипсоидов в евклидовом пространстве встречались нам несколько раз в этом курсе. Например, при изучении зависимости собственных частот малых колебаний от параметров мы встречались с зависящим от жесткости системы эллипсоидом уровня потенциальной энергии в евклидовом пространстве (метрика пространства определяется кинетической энергией). Другой пример — эллипсоид инерции твердого тела (параметры здесь — форма твердого тела и распределение масс в нем).

Здесь мы рассмотрим общий вопрос о том, при каких значениях параметров спектр собственных чисел вырождается, т. е. соответствующий эллипсоид становится эллипсоидом вращения. Заметим, что собственные числа квадратичной формы в евклидовом пространстве (или длины осей эллипсоида) непрерывно меняются при непрерывном изменении параметров системы (коэффициентов формы). Кажется естественным ожидать, что в зависящей от одного параметра системе при изменении параметра в отдельные моменты одно из собственных чисел будет сталкиваться с другим, так что при отдельных значениях параметра система будет иметь кратный спектр.

Представим себе, например, что мы хотим превратить эллипсоид инерции твердого тела в эллипсоид вращения, перемещая по жестко закрепленной в теле штанге одну юстировочную массу, так что в нашем распоряжении имеется один параметр. Три главные оси инерции а, Ъ, с будут непрерывными функциями от этого параметра, и на первый взгляд кажется, что при надлежащем

394

ДОБАВЛЕНИЕ 10

значении параметра (р) можно добиться равенства двух осей,-скажем а(р) = Ъ (р).

Оказывается, однако, что дело обстоит в действительности не так и что, вообще говоря, нужно перемещать не менее двух котировочных масс, чтобы сделать эллипсоид инерции эллипсоидом вращения.

Вообще, кратный спектр в типичных семействах квадратичных форм наблюдается лишь при двух или более параметрах, а в однопараметрических семействах общего вида спектр при всех значениях параметра простой. Практически это проявляется в том, что при изменении параметра в типичном однопара-метрическом семействе собственные числа могут тесно сближаться, но, подойдя достаточно близко одно к другому, как бы начинают отталкивать друг друга и снова расходятся, обманув надежду меняющего параметр лица добиться кратного спектра.

В настоящем добавлении рассматриваются причины этого странного на первый взгляд поведения собственных чисел, а также коротко обсуждаются аналогичные вопросы для систем с различными группами симметрии.

А. Многообразие эллипсоидов вращения. Рассмотрим множество всевозможных квадратичных форм в евклидовом п-мерном пространстве Rn. Это множество само имеет естественную структуру линейного пространства размерности п (п -f- 1)/2. Например, все квадратичные формы на плоскости образуют трехмерное пространство (форма Ax2 + 2Вху + Cy2 имеет координатами три числа А, В, С).

Положительно определенные формы образуют в этом пространстве квадратичных форм открытую область (например, в случае плоскости это внутренность одной из пол конуса В2 = АС, образованного вырожденными формами).

Каждый эллипсоид с центром в начале координат задает положительно определенную квадратичную форму, для которой он является множеством уровня 1; обратно, множество уровня 1 любой положительно определенной квадратичной формы является эллипсоидом. Мы можем, следовательно, отождествить множества положительно определенных квадратичных форм и эллипсоидов с центром в начале координат.
Предыдущая << 1 .. 153 154 155 156 157 158 < 159 > 160 161 162 163 164 165 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed