Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Ф (х, У) - 4" $ (Х - x)(dY + аУ) ~(у- У)@Х + dx),
и на том, что гладкая функция на торе имеет не менее четырех критических точек (считая кратности), в том числе не менее трех геометрически различных.
Попытки доказательства этой теоремы без ограничения на собственные числа наталкиваются на трудности, очень похожие на те, с которыми столкнулся Пуанкаре в теореме о кольце.
Заметим, что теорема о кольце вытекала бы из теоремы о торе, если бы в последней можно было отбросить условие на собственные числа. В саыим деле, составим тор из двух экземпляров нашего кольца, вставив вблизи каждой из двух граничных окружностей еще по узкому соединительному кольцу.
' . 2 |dA' + dx dV+dy
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
387
Тогда мы можем достроить наше отображение кольца до симплекти-ческого диффеоморфизма тора так, что: 1) на каждом из двух больших колец диффеоморфизм будет совпадать с исходным, 2) на каждом из соединительных колец диффеоморфизм не будет иметь неподвижных точек, 3) центр тяжести будет оставаться на месте.
Построение такого диффеоморфизма тора использует свойство вращения граничных окружностей в разные стороны. На каждом соединительном кольце все точки сдвигаются в ту же сторону, что и на обеих окружностях, ограничивающих соединительное кольцо. Поскольку направления сдвига на обоих соединительных кольцах противоположны, величину сдвт а можно подобрать так, чтобы обеспечить сохранение центра тяжести.
Теперь из четырех неподвижных точек на торе две должны лежать в исходном кольце, и мы получаем из теоремы о торе теорему о кольце.
Сформулированная выше теорема о торе допускает обобщение на другие симплектические многообразия, как двумерные так и многомерные. Чтобы сформулировать эти обобщения, нужно прежде всего переформулировать условие сохранения центра тяжести.
Пусть g: M —> M — симплектический диффеоморфизм. Мы скажем, что диффеоморфизм g гомологичен тождественному, если его можно соединить с тождественным диффеоморфизмом (оставляющим на месте все точки многообразия M) гладкой кривой gt, состоящей из симплектических диффеоморфизмов, так, чю поле скоростей gt в каждый момент времени t имеет однозначную функцию Гамильтона. Можно доказать, что симплектические диффеоморфизмы, гомологичные тождественному, образуют коммутант связной компоненты единицы в группе всех симплектических диффеоморфизмов многообразия.
В случае, когда наше многообразие — двумерный тор, гомологичные тождественному симплектические диффеоморфизмы — это в точности те, которые мы назвали выше сохраняющими центр тяжести.
Таким образом, мы приходим к следующему обобщению теоремы Пуанкаре.
Теорема. Всякий гомологичный тождественному симплектический диффеоморфизм компактного симплектического многообразия имеет по меньшей мере столько неподвижных точек, сколько критических точек имеет гладкая функция на этом многообразии, во всяком случае, если этот диффеоморфизм не слишком далек от тождественного.
Заметим, что условие гомологичности тождественному отображению существенно, как видно уже из примера свига на торе, не имеющего ни одной неподвижной точки.
Что касается последнего ограничения (диффеоморфизм не слишком далек от тождественного), то неясно, существенно ли оно. В случае, когда наше многообразие — 2п-мерный тор, достаточно, чтобы ни одно из собственных чисел матрицы Якоби диффеоморфизма (в какой-либо глобальной симплектической системе координат, заданной в R2*1) не равнялось минус единице.
388
ДОБАВЛЕНИЕ 9
Ограничение такого рода, быть может, и необходимо в многомерных задачах. Ибо не исключено, что теорема Пуанкаре является существенно двумерным эффектом*), подобно следующей теореме А. И. Шнирельмана и Н. А. Никишина. Всякий сохраняющий площадь диффеоморфизм двумерной сферы на себя имеет по меньшей мере две геометрически различные неподвижные точки.
Доказательство этой теоремы основано на том, что индекс векторного поля градиента гладкой функции двух переменных в изолированной критической точке не может быть больше единицы (хотя может быть равен 1, O1 —1, —2, —3, . ..), а сумма индексов всех неподвижных точек сохраняющего ориентацию диффеоморфизма двумерной сферы на себя равна двум.
Индекс же градиента гладкой функции большого числа переменных в критической точке может принимать любые целые значения.
Г. Пересечения лагранжевых многообразий. Рассуждению Пуанкаре можно придать несколько иную форму, если рассмотреть на каждом радиусе кольца точки, сдвигающиеся чисто ра-диально. Такие точки есть на каждом радиусе, так как ограничивающие кольцо окружности поворачиваются в разные стороны. Предположим, что нам удалось составить из радиально сдвигающихся точек замкнутую кривую, разделяющую внешнюю и внутреннюю окружности кольца. Тогда образ этой кривой при нашем отображении должен пересекаться с самой кривой (так как области, на которые кривая делит кольцо, переходят в области равной площади).
Если указанная кривая и ее образ пересекают каждый радиус по одному разу, то точки пересечения кривой с образом являются, очевидно, неподвижными точками отображения.
