Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Кое-что из приведенного рассуждения можно перенести на многомерный случай, и это дает полезные результаты о периодических решениях задач динамики. Роль кольца в многомерном случае играет фазовое пространство: прямое произведение области в евклидовом пространстве на тор того же числа измерений (кольцо — это произведение интервала на окружность). Симплектическая структура в фазовом пространстве задается обычным образом, т. е. имеет вид Q = S dxY Д dy^, где х^ — переменные действия, а у* — угловые переменные.
Нетрудно выяснить, какие симплектические диффеоморфизмы нашего фазового пространства гомологичны тождественному. Именно, симплектический диффеоморфизм А гомологичен тождественному, если его можно получить из тождественного непрерывной деформацией и кроме того,
для всякого замкнутого контура (не обязательно гомологичного нулю). Условие гомологичности тождественному преобразованию
•) Это опасение не подтвердилось.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
389
запрещает систематический сдвиг вдоль ж-направления («эволюцию переменных действия»), разрешая сдвиги вдоль торов.
Рассмотрим какой-нибудь из ю-мерных торов х = с = const и применим к нему наш гомологичный тождественному симплектический диффеоморфизм. Получим снова /г-мерный тор. Оказывается, исходный тор пересекается со своим образом по меньшей мере в 2й точках (считая с кратностями), в том числе не менее п + 1 из них геометрически различны, во всяком случае в предположении, что тор-образ имеет уравнение вида х = / (у) с гладкой f.
При п = 1 выделенное утверждение означает, что каждая из концентрических окружностей, составляющих кольцо, пересекается со своим образом не менее чем в двух точках. Это сразу следует из сохранения площадей, причем предположение о том, что образ имеет уравнение х = f (у), не нужно. Если его принять, то доказательство проходит следующим образом (без него доказательство прп п^>1 трудное).
Заметим, что исходный тор является лагранжевым подмногообразием фазового пространства. Наш диффеоморфизм симплектический, поэтому тор-образ также лагранжев. Стало быть, 1-форма (х — с) dy на нем замкнута. Более того, эта форма на торе является полным дифференциалом некоторой однозначной гладкой функции F, так как наш диффеоморфизм гомологичен единице, и следовательно, для любого замкнутого контура
<§> (х — с) dy = ф xdy — ф cdy = <ф xdy — (j) cdy -
Ay Ay Ay Y Ay
= cj>dy — c§dy = Q.
У A\
Заметим, что точки пересечения тора с его образом являются критическими точками функции F (поскольку в них dF = = (х — с) dy = 0).
Из условия однозначной проектируемости тора-образа (т. е. из того, что тор-образ имеет уравнение х = / (у)) вытекает, что и обратно, все критические точки функции F являются точками пересечения наших торов. В самом деле, при указанном условии у можно принять за локальную координату на торе, и следовательно, равенство dF нулю для всех касательных к тору-образу векторов влечет X = с.
Гладкая функция на n-мерном торе имеет не менее 2й критических точек, считая кратности, в том числе не менее п + 1 геометрически различных (см., например, M и л н о р. Теория Морса.—M.: Мир, 1965).
Следовательно, наши торы пересекаются не менее чем в 2" точках (считая кратности), причем геометрически различных точек пересечения не менее п -f- 1.
Точно такое же рассуждение показывает, что образ любого лагранжева тора пересекается с этим тором по меньшей мере
390
ДОБАВЛЕНИЕ 9
в 2п точках (в том числе геометрически различных точек не менее п -f- 1), в предположении, что как исходный тор, так и его образ, однозначно проектируются на у-пространство, т. е. задаются уравнениями X = / (у), х = g (у) соответственно.
Впрочем, это предложение сводится к предыдущему каноническим преобразованием (х, у) (х — / (у), у).
Д. Применения к отысканию неподвижных точек и периодических решений. Рассмотрим теперь гомологичное тождественному симплектическое преобразование того специального вида, который возникает в интегрируемых проблемах динамики, т. е. вида
A0 (х, у) = (х, у + со (х)), где со = dSldx.
Здесь X E= R"—переменная действия, у modd2tt E= Тп — угловая координата.
Предположим, что на торе х = X0 все частоты соизмеримы:
к.
Wi(X0) =~-2л с целыми kit N; (D (х0) Ф 0,
и что выполнено условие невырожденности
det І дійідх |ж# Ф 0.
Теорема. Всякий гомологичный тождественному симплектический диффеоморфизм А, достаточно близкий к A0, имеет вблизи тора х = X0 не менее 2п периодических точек | периода N (так что ANl = |), считая кратности.
Доказательство можно было бы свести к иссследованию пересечения двух лагранжевых подмногообразий 4п-мерного пространства (Rп X X Г" X R" X 7П) с Q = dx Д dy — dX Д dY, одно из которых диагональ (Х = х, Y = у), а другое — график отображения ЛА'.
Однако проще непосредственно построить подходящую функцию на торе. Действительно, отображение A0 имеет вид
(х, у) >-* (х, у + а (х)), где а (х0) = 0, det | да/дх |ж<| ф 0.
По теореме о неявной функции отображение AN имеет близ тора х = х0 тор, смещающийся чисто радиально ((х, у) (X, у)) и задающийся уравнением вида X = / (у), причем его образ также задается уравнением такого же вида, X = g (у). В этих обозначениях X (/ (у), у) = g (у), Y (f(y), у) = у.