Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Тем самым мы введем в множестве эллипсоидов с центром О в Rn структуру гладкого многообразия размерности п (п + 1)/2 {это многообразие покрыто одной картой: указанной выше областью в пространстве квадратичных форм).
Рассмотрим теперь множество всевозможных эллипсоидов вращения. Я утверждаю, что это множество имеет в рассматриваемом пространстве коразмерность 2, т. е. задается двумя независимыми уравнениями, а не одним, как это кажется на первый взгляд. Точнее, справедлива
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
395
Теорема 1. Множество эллипсоидов вращения представляет собой конечное объединение гладких подмногообразий коразмерности 2 и выше в многообразии всех эллипсоидов.
Здесь коразмерностью подмногообразия называется разность между размерностью объемлющего пространства и размерностью подмногообразия.
Доказательство. Рассмотрим вначале эллипсоиды в л-мерном пространстве, у которых две равные оси, а остальные оси различны. Такой эллипсоид определяется направлениями различных осей, что дает
(п — 1) + (п — 2) + . . . + 2 = (п + 1)(п — 2)12
параметров, и еще величинами осей, что дает п — 1 параметр. Итак, общее число параметров равно (п2 — п — 2 -f- 2п — 2)/2, что на два меньше размерности пространства всех эллипсоидов (равной п (п -f- 1)/2). Приведенный подсчет параметров показывает также, что множество эллипсоидов с ровно двумя равными осями является многообразием.
Что касается эллипсоидов с большим числом равных осей, то ясно, что все они образуют множество еще меньшей размерности. Строгое доказательство вытекает из следующей леммы.
Лемма. Множество всех эллипсоидов, имеющих V2 двукратных, V3 трехкратных, V4 четырехкратных осей и т. д., является гладким подмногообразием многообразия всех эллипсоидов, имеющим коразмерность
2v2 + 5v3 + 9v4 + ... = ^ -L (1" - 1X» + 2) vi-
Доказательство этой леммы проводится таким же подсчетом параметров, как в разобранном выше частном случае (который соответствует V2 = 1, V3 = V4 = . . . = 0). Читатель легко сам проведет этот подсчет, заметив сперва, что размерность многообразия всех A-мерных подпространств в n-мерном линейном пространстве равна к (п — к) (так как Аьмерную плоскость общего положения в n-мерном пространстве можно рассматривать как график отображения из A-мерного пространства в п — ^-мерное, а такое отображение задается прямоугольной матрицей размера к X (п — к)).
Пример. Рассмотрим случай п = 2, т. е. эллипсы на плоскости. Эллипс определяется тремя параметрами (например, двумя длинами осей и углом, задающим направление одной из них). Таким образом, многообразие эллипсов на плоскости трехмерно, как и должно быть по нашей формуле.
Окружность же определяется одним параметром (радиусом). Таким образом, многообразие окружностей в пространстве эллипсов — это линия в трехмерном пространстве, а не поверхность^ как кажется на первый взгляд.
396
ДОБАВЛЕНИЕ 10
Этот «парадокс» становится, быть может, более понятным из следующего вычисления. Квадратичные формы Ax2 + 2Вху + Cy2 с равными собственными числами образуют в трехмерном пространстве с крординатамн А, В, С многообразие, заданное одним уравнением K1 = к2, где X1^2 (А, В, С) — собственные числа. Однако левая часть этого уравнения является суммой двух квадратов, что видно из формулы для дискриминанта характеристического уравнения
Д = (А + С)2 — 4 (AC — Bz) = (А —*С)2 + kB2.
Таким образом, одно уравнение A = O определяет в трехмерном пространстве квадратичных форм прямую (А = С, В = 0), а не поверхность.
Простейший вывод из того, что многообразие эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2, состоит в том, что это многообразие не делит пространство всех эллипсоидов (а многообразие квадратичных форм с кратным спектром не делит пространство квадратичных форм), подобно тому как прямая не делит трехмерное пространство.
Следовательно, мы можем утверждать не только, что у эллипсоида «общего положения» все оси разной длины, но и что любые два такие эллипсоида можно соединить гладкой кривой в пространстве эллипсоидов, сплошь состоящей из эллипсоидов с осями разной длины. Более того, если два эллипсоида общего положения соединены гладкой кривой в пространстве эллипсоидов, на которой есть точки, являющиеся эллипсоидами вращения, то сколь угодно малым шевелением кривой можно снять ее с множества эллипсоидов вращения, так что на новой кривой все точки будут эллипсоидами без кратных осей.
Из сказанного вытекает, в частности, простое доказательство теоремы о возрастании собственных частот при возрастании жесткости системы. Действительно, производные некратного собственного числа квадратичной формы по параметру определяются производной квадратичной формы по соответствующему собственному направлению. Если жесткость растет, то потенциальная энергия растет по каждому направлению, в том числе и по собственному. Значит, и собственная частота растет. Тем самым мы доказали теорему о возрастании частот в случае, когда от исходной системы к более жесткой можно перейти, минуя кратный спектр. Доказательство в присутствии кратного спектра получается теперь предельным переходом на основании того, что внутреннюю часть пути перехода от исходной системы к более жесткой можно сдвинуть с множества систем с кратным спектром сколь угодно малым шевелением.
