Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
405
где vtj —число точек столкновения і однократных и і двукратных частот.
В частности, при типичной малой деформации круглой мембраны, сохраняющей вращательную симметрию третьего порядка, сразу же распадается треть двукратных собственных чисел (соответствующих собственным функциям с азимутальной частью cos З&ф и sin 3/яр). При дальнейшей однопараметрической деформации простые и двукратные собственные частоты могут проходить друг сквозь друга, но ни две простые, ни две двукратные собственные частоты друг с другом не сталкиваются.(
Д. Обсуждение. Значение соображений общего положения и симметрии состоит, в частности, в том, что они позволяют получить некоторую информацию в тех случаях, когда найти точное решение задачи не удается.
В частности, почти ни для каких мембран не известны формы собственных колебаний. Тем не менее из общих соображений можно кое-что сказать, например, о кратностях собственных чисел.
Исследование высокочастотных колебаний сплошных сред имеет весьма большое значение для ряда областей (оптика, акустика и т. д.), и для приближенного отыскания формы собственных колебаний разработаны специальные приемы. Один из этих приемов (так называемая квазиклассическая асимптотика) состоит в том, что колебание ищется в виде, локально близком к простой гармонической волне малой длины, у которой, однако, от точки к точке слегка меняются амплитуда и направление фронта.
Анализ (на котором мы не можем здесь останавливаться), показывает, что в некоторых случаях можно построить приближенные решения уравнения собственных функций с указанными свойствами. При этом приближенными решениями они являются в том смысле, что почти удовлетворяют уравнению для собственных' функций (а не в том, что близки к настоящим собственным функциям).
В частности, если мембрана имеет форму равностороннего треугольника со сглаженными и сильно затупленными углами, то удается построить приближенное решение описанного типа, которое заметно отличается от нуля лишь в окрестности одной из высот треугольника. (Физики называют это приближенное решение волновым аналогом луча, движущегося по высоте треугольника; этот луч является устойчивой *) траекторией бильярда, имеющего форму нашей мембраны; ср. добавление о коротковолновых асимптотиках).
*) Условие линейной устойчивости бильнрдной траектории имеет вид
(г, + га - I)(V1 - i)(ra - I) > 0,
где 2 — длина отрезка траектории, T1 я rt — радиусы кривизны стенки в его концах.
406
ДОБАВЛЕНИЕ 11
Из соображений симметрии и общего положения вытекает, что у типичных мембран с поворотной симметрией третьего порядка настоящих собственных колебаний описанного типа нет. Действительно, предположим, что одно из собственных колебаний мембраны сосредоточено близ высоты (но не вблизи центра мембраны). Тогда, повернув его на 120° и на 240°, мы получим три собственные колебания с одинаковыми собственными частотами. Эти три колебания независимы (это следует из отличия от нуля их суммы). Следовательно, собственная частота трехкратна, что у типичных систем с поворотной симметрией третьего порядка не встречается.
Из приведенного рассуждения видно, что пытаться строить строгую высокочастотную асимптотику собственных функций — довольно безнадежное дело: лучшее, на что можно надеяться,— это получить приближенные формулы для почти собственных колебаний. Такое почти собственное колебание может весьма сильно отличаться от настоящих собственных колебаний, однако если задать соответствующее начальное условие, то движение в течение длительного времени будет напоминать стоячую волну (собственное колебание).
Пример почти собственного колебания — движение одного из двух одинаковых маятников, соединенных очень слабой пружиной. Если в начальный момент приведем в движение первый маятник, а второй неподвижен, то в течение длительного времени колебаться будет практически один лишь первый маятник, и колебания будут почти собственными. При настоящих же собственных колебаниях амплитуды обоих маятников одинаковы.
Вопрос о связи геометрии мембраны со свойствами ее собственных колебаний в последние годы интенсивно изучался многими авторами (в том числе Г. Вейлем, С. Минакпшсундарамом и А. Плейелем, А. Сельбергом, Дж. Милнором, М. Кацем, И. Зингером, Н. Маккином, М. Берже, И. Ko-лин де Вердье, Ж. Чезареном, Ж. Дюистермаатом, В. Ф. Лазуткиным, А. И. Шнирельманом, - С. А. Молчановым).
На простейший вопрос «можно ли услышать форму барабана?» ответ оказался отрицательным: существуют не доометричные римановы многообразия с одинаковым спектром. С другой стороны, некоторые свойства многообразия восстанавливаются по спектру собственных чисел оператора Лапласа и по свойствам собственных функций (например, восстанавливается полный набор длин замкнутых геодезических).
Добавление 11
КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ
Описание распространения света в геометрической оптике при помощи лучей (т. е. с помощью канонических уравнений Гамильтона) или волновых фронтов (т. е. с помощью уравнений Гамильтона — Якоби) с точки зрения физической оптики является лишь приближением. Согласно представлениям физической оптики свет — это электромагнитные волны, а геометрическая оптика —
