Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Из гомологичности отображения А единице вытекает, что AN имеет однозначную глобальную производящую функцию вида Xy ¦+- S (X, у), где S имеет по переменным у период 2п.
Функция F (у) = S (X (/ (у), у), у) имеет на торе минимум 2п критических точек ух. Все точки lit = (/ (yjf), ук) являются неподвижными точками для AN. Действительно,
dF = (x - X) dy+(Y- у) dX = (x- X) dy = (/ (у) - g (у)) dy.
Поэтому из dF I = 0 вытекает, что / (ук) = g (уь), т. е. AN%k = |к-> что и требовалось доказать.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
391
Обратимся теперь к замкнутым траекториям консервативных систем. Пользуясь терминологией добавления 8, мы можем сформулировать результат так.
Следствие. При распаде n-мерного инвариантного тора% сплошь заполненного замкнутыми траекториями изоэнергетически невырожденной системы с п степенями свободы, образуются не менее 2n_1 замкнутых траекторий возмущенной задачи (считая с кратностями), в том числе не менее п геометрически различных1 по меньшей мере если возмущение достаточно мало.
Доказательство сводится к предыдущей теореме при помощи 2?г—2-мерной поверхности сечения. При этом следует вначале выбрать угловые координаты у так, чтобы замкнутые траектории невозмущенной задачи на торе задавались уравнениями у2 = • • • . . . = jyn = 0, а затем определить поверхность сечения уравнением Jy1 = 0.
В случае двух степеней свободы можно применять теорему Пуанкаре к кольцам, которые образуются при пересечении инвариантных торов с двумерной секущей поверхностью. Мы получаем следующий результат.
В щели между двумя двумерными инвариантными торами системы с двумя степенями свободы всегда есть не менее двух замкнутых фазовых траекторий, если отношения частот условно-периодических движений на этих торах различны.
Тем самым получается много периодических решений во всех задачах с двумя степенями свободы, где найдены инвариантные торы (например, в ограниченной круговой задаче трех тел, в задаче о замкнутых геодезических и т. п.). Существует даже гипотеза, что в гамилътоновых системах «общего вида» с компактным фазовым пространством замкнутые фазовые кривые образуют всюду плотное множество. Впрочем, если это и верно, замкнутость большинства из таких кривых не имеет существенного значения, так как их периоды чрезвычайно велики.
Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции.
Знание периодических решений позволяет, между прочим, доказывать несуществование первых интегралов (отличных от классических) во многих задачах динамики. Предположим, например, что на каком-либо многообразии уровня известных интегралов
392
ДОБАВЛЕНИЕ 9
обнаружена периодическая траектория, которая неустойчива. Ее сепаратрисы в общем случае образуют сложную сеть, которую мы рассматривали в добавлении 7. Если это явление расщепления сепаратрис удается обнаружить и если мы сумеем доказать, что сепаратрисы не укладываются ни в какое многообразие меньшего числа измерений, чем рассматриваемое многообразие уровня, то мы можем быть уверенными, что система не имеет новых первых интегралов.
Впрочем, сложное поведение фазовых кривых, препятствующее существованию первых интегралов, часто удается обнаружить и без помощи периодических решений, просто с одного взгляда на найденную вычислительной машиной картину, образованную пересечением фазовой кривой с поверхностью сечения.
Е. Инвариантность производящей функции. Выше мы уже отмечали удручающую неинвариантность производящих функций относительно выбора канонической системы координат в симплектической многообразии.
С другой стороны, мы неоднократно использовали связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции.
Оказывается, хотя вообще производящая функция и неинвариантно связана с отображением, вблизи неподвижной точки инвариантная связь имеется.
Точнее, пусть дан оставляющий на месте некоторую точку симплектический диффеоморфизм. Определим в окрестности этой
1
точки «производящую функцию» Ф =
с помощью некоторой симплектической системы координат (х, у) *).
Далее, построим с помощью другой симплектической системы координат (х', у') аналогично определяемую производящую функцию Ф'.
Теорема. Если линеаризация симплектического диффеоморфизма в неподвижной точке не имеет собственных чисел, равных —1, то функции Ф и Ф' эквивалентны в ее окрестности в том смысле, что существует такой диффеоморфизм g (вообще несимп-лектический), что
