Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Б. Применение к исследованию колебаний сплошных сред. Приведенные выше общие соображения имеют многочисленные приложения при исследовании зависимости от параметров собственных частот разнообразных механических систем с конечным числом степеней свободы; однако, вероятно, наиболее интересные их приложения относятся к системам с бесконечным числом степеней свободы, описывающим колебания сплошных сред. Эти приложения основаны на том, что коразмерности многообразий эллипсоидов с теми или иными кратностями осей определяются
КРАТНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 399
этими кратностями и не зависят от числа измерений пространства.
Например, коразмерность множества эллипсоидов вращения в многообразии всех эллипсоидов равна двум в пространстве любого числа измерений; поэтому естественно считать, что и в бесконечном «многообразии» эллипсоидов в бесконечномерном гильбертовом пространстве множество эллипсоидов вращения имеет коразмерность 2 (и, в частности, пространство эллипсоидов без кратных осей связно).
Конечно, рассуждения подобного рода нуждаются в строгом обосновании. Мы однако не будем этим заниматься, а посмотрим, к каким выводам приводят развитые выше общие соображения, если не побояться применить их к задаче о колебаниях сплошной среды.
Кинетическая энергия сплошной среды, заполняющей компактную область D, выражается через отклонение и точки х от равновесия формулой
T = -^- ^ u2dx.
D
Среду мы будем для определенности считать мембраной (в этом случае область D двумерна, а отклонение и одномерно). Кинетическая энергия задает евклидову структуру в конфигурационном пространстве задачи (т. е. в пространстве функций й). Потенциальная энергия дается интегралом Дирихле
U = -|- jj (Vu)2 dx
D
(с математической точки зрения эти данные входят в определение мембраны).
Квадраты собственных частот мембраны — это собственные числа квадратичной формы U в конфигурационном пространстве, метрика которого задана с помощью кинетической энергии. Мы примем, что типичной мембране отвечает типичная квадратичная ¦форма (предположение это означает трансверсальность многообразия квадратичных форм, соответствующих разным мембранам, многообразию форм с кратными собственными числами). Если поверить в это свойство общего положения, то мы приходим к следующим выводам.
1. Для мембраны общего положения все собственные частоты различны. От одной мембраны общего положения к другой можно перейти непрерывным путем, сплошь состоящим из мембран с простым спектром. Более того, типичный путь, соединяющий две любые мембраны, не содержит ни одной мембраны с кратным спектром (исключая, возможно, концы пути).
400
ДОБАВЛЕНИЕ 10
2. Меняя два параметра мембраны, можно добиться совпадения двух собственных частот; чтобы получить трехкратную частоту, нужно иметь в своем распоряжении пять независимых параметров, четырехкратную — девять и т. д.
3. Если, отправляясь от мембраны с простым спектром и непрерывно деформируя ее, перейти к другой мембране с простым спектром по любому пути общего положения, то в результате такого продолжения из к-й по величине собственной частоты исходной мембраны получится независимо от пути деформации всегда к-я по величине собственная частота конечной мембраны; продолжение же собственных функций, вообще говоря, зависит от пути деформации (а именно, при изменении пути может измениться знак получающейся собственной функции).
В частности, если, начав с мембраны с простым спектром и деформируя ее, мы опишем замкнутый путь в пространстве мембран и вернемся к исходной мембране, обойдя вокруг множества мембран с кратным спектром (которое ведь имеет коразмерность 2), то k-я собственная частота вернется к исходному значению, а к-я собственная функция может сменить знак.
В. Влияние симметрии на кратность спектра. Кратный спектр является исключением в системах общего вида, но он появляется неустранимым малым шевелением образом в случаях, когда данная система симметрична и деформации сохраняют симметрию.
Рассмотрим, например, систему из трех одинаковых масс в вершинах равностороннего треугольника, соединенных одинаковыми пружинами друг с другом и с центром треугольника и способных двигаться в плоскости треугольника. Система имеет поворотную симметрию третьего порядка. Следовательно, в конфигурационном пространстве (размерность коего равна 6) действует линейный оператор g, куб которого равен 1, и который оставляет неизменной как евклидову структуру конфигурационного пространства (заданную кинетической энергией), так и эллипсоид в конфигурационном пространстве, задающий потенциальную энергию.
Из сказанного следует, что этот эллипсоид должен быть эллипсоидом вращения. Действительно, если g — указанный оператор действия симметрии в конфигурационном пространстве, а I — вектор на главной оси эллипсоида, то ось направления gl также является главной осью (ибо вращение g переводит эллипсоид в себя).
Для вектора g| возможны два случая: либо g| = |, либо векторы I и gt линейно независимы. Во втором случае плоскость, натянутая на векторы | и g|, сплошь состоит из главных осей. Поэтому соответствующее такой оси собственное число как минимум двукратное. Пространство, натянутое на три вектора, |, gt, g%, инвариантно относительно g. Оно либо двумерно (тогда g действует в нем как поворот на 120°), либо трехмерно (тогда g
