Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 168

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 195 >> Следующая


Заметим, что определения фокальной к M точки и индекса Морса не зависят от уравнения Шредингера, а относятся просто к геометрии фазового потока в кокасательном расслоении к конфигурационному пространству (или, что то же, к вариационному исчислению). В частности, в качестве лагранжева многообразия M можно взять слой кокасательного расслоения, проходящий через точку (р0, д0) (заданный условием д = д0).

В этом случае фокальная к M точка на выходящей ив (р0, д0) фазовой кривой называется сопряженной к исходной точке (точнее, проекция этой фокальной точки на конфигурационное пространство называется сопряженной точкой к точке 5о вдоль экстремали в конфигурационном пространстве, выходящей из точки 5о с импульсом P0). В еще более частном случае движения по геодезическим на римановом многообразии фокальная точка к слою кокасательного расслоения называется сопряженной с начальной точкой геодезической вдоль этой геодезической. Например, Южный полюс сферы — сопряженная точка Северного полюса вдоль любого меридиана.

Индекс Морса отрезка геодезической, равный числу сопряженных началу точек, играет важную роль в вариационном исчислении. А именно, рассмотрим второй дифференциал действия как квадратичную форму на пространстве вариаций изучаемой геодезической (с закрепленными концами). Тогда отрицательный индекс инерции этой квадратичной формы равен индексу Морса (см., например, Милнор Дж. Теория Морса.— M.: Мир, 1965).

Таким образом, до первой сопряженной точки геодезическая реализует минимум действия, чем и оправдывается название «принцип наименьшего действия» для различных вариационных принципов механики.

Заметим, что при вычислении индекса Морса фокальные точки нужно учитывать с кратностями (кратность фокальной точки общего положения равна 1).

Индекс Морса является частным случаем так называемого индекса Маслова, который определяется независимо от какого бы то ни было фазового потока для любых кривых на лагранжевом многообразии кокасательного расслоения над конфигурационным пространством.

Рассмотрим проекцию нашего n-мерного лагранжева многообразия на и-мерное конфигурационное пространство. Это — гладкое отображение многообразий одинаковой размерности. Оно

412

ДОБАВЛЕНИЕ 11

может иметь особые точки, т. е. точки, в которых ранг производной отображения падает и в окрестности которых проекция не является диффеоморфизмом.

Оказывается, вообще говоря, множество особых точек само имеет размерность п — Iu состоит из объединения гладкого многообразия размерности п — 1 простейших особых точек, в которых ранг падает на I, и из конечного набора многообразий, размерность которых п — 3 и меньше.

Здесь «вообще говоря» означает, что указанных свойств можно добиться сколь угодно малым шевелением лагранжева многообразия, при котором оно остается лагранжевым.

Существенно отметить, что среди частей разных рангов, на которые разбивается множество особых точек, нет части размерности п — 2. За простейшими особыми точками, образующими многообразие размерности п — 1, следуют точки, где ранг падает на две единицы, и они образуют многообразие размерности п — 3. Проекция множества особых точек на конфигурационное пространство (каустика) состоит, вообще говоря, из частей всех размерностей от 0 до п — 1 без пропусков.

Далее, оказывается, что п — 1-мерное многообразие простейших особых точек расположено на лагранжевом многообразии дву-сторонне, а именно можно следующим образом согласовать ориентации нормалей во всех его точках.

Рассмотрим какую-либо простейшую особую точку на лагранжевом многообразии.

Рассмотрим систему координат qu . . ., qn в окрестности проекции этой точки на конфигурационное пространство. Пусть P1, . . ., рп — соответствуюпще координаты в слоях кокасатель-ного расслоения. В окрестности нашей особой точки лагранжево многообразие можно рассматривать как график вектор-функции («fr, р2» • • •» Pn) от переменных (рг, q2, . . ., qn) (или вектор-функции аналогичного вида, в которой роль выделенной координаты исполняет не первая, а какая-либо из остальных).

Особые точки вблизи данной определяются тогда из условия dq1\dp1 = 0. Для лагранжевых многообразий общего положения эта производная меняет знак при переходе с одной стороны многообразия особых точек на другую в рассматриваемой окрестности простейшей особой точки. Мы выбираем за положительную сторону ту, где эта производная положительна.

Заметим, что согласованность определения положительного направления вблизи разных точек нуждается в доказательстве. Более того, нужно доказать, что положительное направление вблизи одной точки определено корректно, т. е. не зависит от координатной системы. Все это можно сделать прямыми вычислениями (см. цитированную выше статью в «Функциональном аналиве»).

Теперь индекс Маслова ориентированной кривой на лагранжевом многообразии определяется как число переходов с отрицательной стороны многообразия особенностей на положительную

КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ

413

минус число обратных переходов. При этом предполагается, что концы кривой неособы и что кривая пересекает лишь многообразие простейших особых точек и лишь под ненулевыми углами. Определив индекс для таких кривых, можно определить его для произвольной кривой, соединяющей две неособые точки: для этого достаточно аппроксимировать кривую такой, которая пересекает лишь многообразие простейших особых точек и притом под ненулевыми углами. Можно показать, что от выбора аппроксимирующей кривой индекс не зависит.
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed