Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
P (я) = ds/dq.
Лемма. Какова бы ни была гладкая функция s, график построенной по ней функции р (q) в фазовом пространстве R2™ = = {(p. q)} является лагранжевым многообразием. Обратно, если лагранжево многообразие однозначно проектируется на q-npocm-ранство (является графиком), то оно задается некоторой производящей функцией s по предыдущей формуле.
Обозначим лагранжево многообразие, построенное по начальному условию (по функции s) через М. Фазовый поток g* за время t переводит многообразие M в другое многообразие g'M. Это новое многообразие также лагранжево, так как фазовый поток сохраняет симплектическую структуру.
При малых t новое лагранжево многообразие, как и старое, однозначно проектируется на конфигурационное пространство. Однако при больших t это уже не обязательно так (рис. 244).
Иными словами, в одну точку Q конфигурационного пространства может проектироваться несколько точек нового лагран-жева многообразия. Мы предположим, что этих точек конечное число, и что все они невырождены (т. е. что невырождена производная отображения проектирования нового лагранжева многообразия на конфигурационное пространство в каждой из точек,; проектирующихся в заданную точку О).
Условие невырожденности выполнено для почти всех точек Q. Те особенные точки Q, для которых оно не выполнено, образуют в конфигурационном пространстве множество меры нуль. В общем случае это множество — поверхность, размерность которой на 1 меньше числа измерений конфигурационного пространства. Эта поверхность, играющая роль каустикиХв нашей задаче, сама может иметь довольно сложные особенности.
Проектирующиеся в заданную точку Q точки нового лагранжева многообразия произошли при преобразовании фазового потока из некоторых точек исходного лагранжева многообразия (построенного по начальному условию). Иными словами, в точку Q за время t приводит несколько траекторий классической частицы.
Рис. 244. Преобразование лагранжевых многообразий фазовым потоком
410
ДОБАВЛЕНИЕ Ii
начальные условия которых принадлежат исходному лагранжеву многообразию.
Обозначим через (pj, qj) эти начальные точки фазового пространства, а через Sj действие вдоль траектории фазового потока, выходящей из точки (pj, qj). Точнее, мы положим
Sj(Q,t) = s(qj) + S)LdQ,
где
L = 4--U® и Я6 (Ру Ъ) = & (0)' ? (0))"
Тогда при h—>-0 решение уравнения Шредингера с заданным функциями s и ср осциллирующим начальным условием имеет асимптотику
Ф(С.0 = ?ф(й)|т^
1/2 -j- SAQ,t)-^L ц.
где Hj — целое число (индекс Морса), определение которого дано ниже.
Чтобы разобраться в этой формуле, рассмотрим сперва случай, когда промежуток времени t мал. В этом случае сумма сводится к одному-единственному слагаемому, так как лагранжево многообразие, полученное из исходного лагранжева многообразия преобразованием фазового потока за малое время, проектируется на конфигурационное пространство однозначно. Иными словами, из семейства частиц, соответствующих начальному условию для уравнения Шредингера, только одна приходит в Q через малое время t.
Для малых t индекс Морса равен нулю (как мы увидим ниже из его определения). Таким образом, функция гр (Q, s) имеет, так же как и начальное условие, быстро осциллирующий вид.
При этом функция S1 определяющая фронты волн в момент ?, есть не что иное, как значение в момент t решения уравнения Гамильтона — Якоби, начальное условие для которого задается функцией s, определяющей фронты волн в начальный момент. Амплитуда же волн в момент t в точке Q получается из их амплитуды в начальный момент в исходной точке приходящей в Q траектории умножением на некоторый множитель. Этот множитель подобран так, чтобы при движении частиц, соответствующих нашему начальному условию, интеграл квадрата модуля функции ip по заполненной частицами области конфигурационного пространства не менялся с течением времени. (Здесь предполагается, что в начальный момент выделена любая область в конфигурационном пространстве, затем- рассматриваются фазовые точки на исходном лагранжевом многообразии, чьи проекции на конфигурационное пространство лежат в этой области, далее — их
КОРОТКОВОЛНОВЫЕ АСИМПТОТИКИ
411
образы под действием фазового потока через время t и, наконец, проекции последних на конфигурационное пространство образуют область, «заполненную частицами в момент ?».)
Б. Индексы Морса и Маслова. Число U7- определяется как число фокальных к многообразию M точек на отрезке [0, t] фазовой кривой, выходящей из точки (р}; q}).
Определение фокальной к M точки состоит в следующем. Мы выбрали точку Q так, что при проекции получившегося из M в момент t лагранжева многообразия условие невырожденности в этой точке выполняется. Однако если мы рассмотрим всю фазовую кривую, выходящую из точки (р}; q}), то в некоторые моменты времени 0 между 0 и і условие невырожденности может не выполняться в точке (р (0), q (0)) лагранжева многообразия фМ. Такие точки и называются фокальными точками к многообразию M вдоль рассматриваемой фазовой кривой.
