Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что движение вектора Лапласа Земли является, по-видимому, одним из факторов, с которыми связаны ледниковые периоды. Дело в том, что при увеличении эксцентриситета орбиты Земли время, которое она проводит вблизи Солнца, уменьшается, а вдали от него — увеличивается (по закону площадей); итак, климат становится более суровым при увеличении эксцентриситета. Величина этого эффекта такова, что, например, количество солнечной энергии, получаемое за год на широте Ленинграда может достигать значений, которые сейчас соответствуют широтам Киева (при уменьшении эксцентриситета) и Таймыра (при его увеличении). Характерное время изменения эксцентриситета (десятки тысяч лет) хорошо согласуется с периодом наступления ледников.
Теоремы об инвариантных торах приводят к выводу, что при достаточно малой массе планет в фазовом пространстве задачи имеется множество положительной меры, заполненное такими условно-периодическими фазовыми кривыми, что соответствующее движение планет близко к движению по медленно меняющимся эллипсам малых эксцентриситетов, причем движение векторов Лапласа близко к тому, которое дается описанным выше приближением. Более того, если массы планет достаточно малы, то движения описанного типа заполняют большую часть области фазового пространства, соответствующей в кеплеровом приближении
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 383
движениям планет в одну сторону по непересекающимся эллипсам малых эксцентриситетов.
Число степеней свободы в плоской задаче п планет равно 2п, если считать Солнце неподвижным. Интеграл кинетического момента позволяет исключить одну циклическую координату, однако остается еще слишком много переменных, чтобы инвариантные торы делили многообразие уровня энергии (даже если планет всего две, это многообразие пятимерное, а торы трехмерные). Поэтому в рассматриваемой задаче не удается сделать выводы о сохранении больших полуосей в течение бесконечного интервала времени для всех начальных условий, но только для большинства.
Задача с двумя степенями свободы получается при дальнейшей идеализации. Заменим одну из двух планет «астероидом», который движется в поле второй планеты («Юпитера»), не возмущая движения последнего.
Задача о движении такого астероида называется ограниченной задачей трех тел. Плоская ограниченная задача трех тел приводит к системе с двумя степенями свободы, периодически зависящей от времени, для движения астероида. Если же вдобавок орбита Юпитера круговая, то во вращающейся вместе с ним системе координат для движения астероида получается автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы — так называемая плоская ограниченная круговая задача трех тел.
В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях: это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона.
Следовательно, условие невырожденности в нашей задаче не выполняется, но условие изоэнергетической невырожденности выполняется. Итак, теорема Колмогорова применима, и мы заключаем, что большинство инвариантных торов с иррациональным отношением частот сохраняется в случае, когда масса возмущающей планеты (Юпитера) отлична от нуля, но достаточно мала.
Далее, двумерные инвариантные торы делят трехмерное многообразие уровня функции Гамильтона. Следовательно, величина большой полуоси и эксцентриситет кеплерова эллипса астероида будут вечно оставаться вблизи своих начальных значений, если в начальный момент кеплеров эллипс не пересекал орбиту возмущающей планеты и если масса этой планеты достаточно мала.
384
ДОБАВЛЕНИЕ 9
При этом в неподвижной системе координат кепплеров эллипс астероида может медленно поворачиваться, так как наша система лишь изоэнергетически невырождена, и поэтому при возмущении инвариантного тора сохраняются не частоты, а только их отношение. В результате возмущения частота азимутального движения перигелия астероида в подвижной системе координат может сделаться слегка отличной от частоты Юпитера, и тогда в неподвижной системе перигелий будет медленно поворачиваться.
Добавление 9
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ, ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
В своем исследовании периодических решений задач небесной механики А. Пуанкаре построил весьма простую модель, уже содержащую основную трудность задачи. Такой моделью является сохраняющее площади отображение плоского кругового кольца на себя.
Отображения указанного вида возникают при исследовании динамических систем с двумя степенями свободы. А именно, отображение двумерной поверхности сечения на себя строится так: каждая точка поверхности сечения переходит в следующую точку пересечения выпущенной из этой точки фазовой кривой с поверхностью сечения (см. добавление 7).
