Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Найти индекс ориентированной параметром t, О «J t ^ 2л, окружности р = cos t, д = sin t на лагранжевом многообразии р2 -f- ga = 1 фазовой плоскости.
Ответ. + 2.
Наконец, индекс Морса фазовой кривой в R2" можно теперь определить как индекс Маслова кривой на п + 1-мерном лагранжевом многообразии в подходящем 2п + 2-мерном фазовом пространстве. Координатами в этом пространстве служат (р0, р; д0, q) (где (р, q) E= R2n). Если положить здесь q0 = t, р0 = —Н (р, q), а точку (р, q) заставить пробегать /г-мерное лагранжево многообразие в R2", полученное из исходного за время t под действием фазового потока^ то при изменении t полученные точки в R2n+2 заметут п + 1-мерное лагранжево многообразие. График движения фазовой точки под действием фазового потока можно рассматривать как кривую на этом п + 1-мерном лагранжевом многообразии. Можно проверить, что индекс Маслова этого графика совпадает с индексом Морса исходной фазовой кривой.
В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R2n = {(р, q)}, кроме симплектической структуры, dp Д dq еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р2 + q2) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу
/: R2» R2», I(p,q) = (-q, р); z = р + iq, О = {z}.
Все три структуры связаны соотношением
[х, у] = (Iх, у),
где квадратными скобками обозначено кососкалярное произведение.
Линейные преобразования фазового пространства, сохраняющие какие-нпбудь две (и тогда все три) структуры, называются унитарными. Такие преобразования переводят лагранжевы плоскости в лагранжевы.
Каждая лагранжева плоскость может быть получена из какой-нибудь одной (например, пз вещественной плоскости Rn, за-
414
ДОБАВЛЕНИЕ 11
данной уравнением д = 0) унитарным преобразованием. При этом любые два унитарные преобразования А, В, переводящие вещественную плоскость в одну и ту же лагранжеву плоскость, отличаются на унитарное преобразование, являющееся вещественным ортогональным преобразованием:
В -- AC1 где CR" = Rn.
Обратно, любое предварительное ортогональное преобразование не меняет образа вещественной плоскости под действием унитарного преобразования.
Заметим теперь, что определитель ортогонального преобразования равен +1. Поэтому квадрат определителя унитарного преобразования, переводящего вещественную плоскость в данную лагранжеву плоскость, зависит лишь от самой лагранжевой плоскости и совершенно не зависит от специального выбора унитарного преобразования.
После этих предварительных замечаний вернемся к нашему лагранжеву многообразию и лежащей на нем замкнутой ориентированной кривой. В каждой точке кривой имеется касательная плоскость к лагранжеву многообразию в линейном симплектической пространстве. Квадрат определителя унитарного преобразования, переводящего вещественную плоскость в касательную, есть комплексное число, по модулю равное единице. При движении точки по нашей замкнутой кривой это комплексное число меняется.|3а время полного обхода кривой квадрат определителя совершит некоторое целое число оборотов вокруг начала координат на плоскости комплексного переменного, ориентированной от 1 к і. Это целое число и есть индекс рассматриваемой замкнутой кривой.
Индексы замкнутых кривых входят в асимптотические формулы для стационарных задач (собственных колебаний). Предположим, что фазовый поток, соответствующий потенциалу U, имеет инвариантное лагранжево многообразие, лежащее на уровне энергии H = E. Тогда уравнение
\ Дф = M(U(q)-E)y
имеет серию собственных чисел —>- эо с асимптотикой Xn = = uif + О (|xjv), если для всех замкнутых контуров у на нашем лагранжевой многообразии выполняется сравнение
р dq=s ind у (mod 4)і
Y
В одномерном случае лагранжево многообразие — окружность, ее индекс равен 2, и предыдущая формула превращается в так
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
415
называемое «условие квантования»:
HN§pdq = 2n (N + -J-)-
Y
Собственные функции, соответствующие этим собственным числам, также связаны с лагранжевым многообразием, но эта связь не так проста. В действительности удается написать не асимптотические формулы для собственных функций, а лишь формулы для функций, приближенно удовлетворяющих уравнению собственных функций. Эти функции оказываются малыми вне проекции лагранжева многообразия на конфигурационное пространство. Асимптотические формулы имеют особенности вблизи каустик, образующихся при проектировании.
Настоящие собственные функции могут, однако, вести себя совершенно-по-другому, по меньшей мере, если собственное число кратное или если имеются близкие к нему собственные числа (см. добавление 10).
Индекс Маслова можно рассматривать как многомерное обобщение теории колеблемости Штурма. См.: Арнольд В.И. Теоремы Штурма и симплектическая геометрия // Функциональный анализ и его приложения.— 1985.— Т. 19, № 4.— С. 1—10.
Добавление 12 ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
