Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
После этого останутся лишь простейшие неустранимые особенности, для которых можно выписать нормальные формы и которые можно раз навсегда подробно изучить. При рассмотрении задач общего положения, не обладающих какими-либо специальными свойствами симметрии, естественно ожидать появления лишь этих простейших неустранимых особенностей.
Рассмотрим, например, каустики, образованные при освещении стены светом от точечного источника, отраженным от какой-либо гладкой искривленной поверхности (здесь четырехмерное фазовое пространство образовано прямыми, пересекающими поверхность стены по всевозможным направлениям, а лагранжево подмногообразие — лучами света, выходящими из источника, при пересечении ими стены). Перемещая источник, можно заметить, что, вообще говоря, каустики имеют лишь простейшие особенно-
418
ДОБАВЛЕНИЕ 12
сти (полукубические острия), а более сложные особенности появляются лишь при специальных, исключительных положениях источника.
Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования 7г-мерного лагранжева подмногообразия из 27г-мерного фазового пространства на 7г-мерное конфигурационное пространство для п <^ 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При п ^ 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры.
За дальнейшими подробностями читатель отсылается к статье: Арнольд В. И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля Aj:, Dj:, Ef! и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения.— 1972.— Т. 6, № 4.— С. 3—25.
В. Таблица нормальных форм типичных особенностей проекций лагранжевых многообразий размерности п <^ 5. Мы будем пользоваться следующими обозначениями:
(qlt . . ., qn) — координаты в конфигурационном пространстве, Qo1, . . ., рп) — соответствующие импульсы, так что вместе р ж д образуют симплектическую систему координат в фазовом пространстве.
Лагранжево многообразие мы будем задавать при помощи производящей функции F формулами
qt = dFldpt, pj = -dF/dqj,
где индекс і пробегает некоторую часть множества (1, . . ., п), а индекс / — остальную часть. А именно, і = 1, j >¦ 1 для особенностей, обозначенных в списке через Ак, и і = 1, 2, j ^> 2 для особенностей, обозначенных через Dn и Ен.
При таких обозначениях одно и то же выражение F (pt, qj) может рассматриваться как задающее лагранжево многообразие в пространствах разного числа измерений: мы можем дописать сколько угодно аргументов g7-, от которых F на самом деле не зависит.
Список нормальных форм типичных особенностей имеет теперь следующий вид:
при 7Z = I
A1: F = pl; A2: F = ±pl; при п = 2, кроме двух предыдущих, еще
A3: F = ±р\ + ftp?; лри п = 3, кроме трех предыдущих, еще
A4;. F = ±р\ + qsp\ + q2p\,
Dt- F = ± PiPz ± РІ + ЗзРІ;
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
419
при т» = 4j кроме пяти предыдущих, еще
Аь- F = ± Р\ + ftPi + q3pl + QaPu Db- F = + р2р2 + pt + Qipl + q3ph при т» = 5, кроме семи предыдущих, еще A6: F = ±pl± дъР\ + . . . + д2р\, De'- F = + р2р2 + р\ + qbp\ + &р| + д3р22, Ев- F = +zpl + pi + дьРхРІ + QiPiPz + QsPl-
Г. Обсуждение нормальных форм. Точка типа A1 неособая.
Особенность типа A2 — это особенность типа складки. Действительно, если за координаты на лагранжевой многообразии взять (рг, д2, . . ., дп), то отображение проектирования запишется как
(Pi. ft» • . •i Qn) (± Зрі, д2, . . ., дп).
Особенность типа A3 — это сборка с лолукубическим острием на видимом контуре. Чтобы в этом убедиты^ достаточно выписать
Рис. 246. Типичные особенности каустик в трехмерном пространстве
явно соответствующее отображение двумерного лагранжева многообразия на плоскость:
(Pi, ft) **¦ (± 4pl + 2•QiPu ft).
Особенность типа A^ впервые появляется в трехмерном слу-чаея и соответствующая каустика представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (рис. 246) с особенностью, называемой ласточкиным хвостом (мы уже встречались с ней в § 46).
Каустика особенности типа D4 в трехмерном пространстве представляет собой поверхность с тремя ребрами возврата (ти-
420
ДОБАВЛЕНИЕ 12
па А з), касающимися в одной точке; при этом два из этих ребер возврата могут быть мнимыми, так что имеется два варианта каустики Dt.
Д. Лагранжевы эквивалентности. Теперь следует сказать, в каком смысле приведенные примеры являются нормальными формами типичных особенностей проектирования лагранжевых многообразий. Прежде всего мы определим, какие особенности мы будем считать «одинаково устроенными».
Отображение проектирования лагранжева многообразия на конфигурационное пространство будем для краткости называть лагранжевым отображением. Пусть даны два лагранжевых отображения многообразий одинаковой размерности п (соответствующие «-мерные лагранжевы многообразия лежат, вообще говоря, в разных фазовых пространствах, являющихся кокасательными расслоениями двух разных конфигурационных пространств). Мы скажем, что два таких лагранжевых отображения лагранжево эквивалентны, если существует симплектический диффеоморфизм первого фазового пространства на второе, переводящий слои первого кокасательного расслоения в слои второго и переводящий первое лагранжево многообразие во второе. Сам симплектический диффеоморфизм называется тогда лагранжевой эквивалентностью отображений.
