Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что два лагранжево эквивалентных лагранжевых отображения превращаются одно в другое при помощи диффеоморфизмов в пространстве-прообразе и пространстве-образе (или, как говорят в анализе, приводятся одно к другому заменой координат в прообразе и в образе). Действительно, наш симплектический диффеоморфизм, суженный на лагранжево многообразие, задает диффеоморфизм прообразов; диффеоморфизм же конфигурационных пространств-образов возникает потому, что слои переходят в слои.
В частности, каустики двух лагранжево эквивалентных отображений диффеоморфны, поэтому классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности влечет за собой классификацию каустик. Одйако классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности, вообще говоря, тоньше, чем классификация каустик, так как из диффеоморфности каустик вообще не вытекает лагранжева эквивалентность отображений. Более того, классификация с точностью до лагранжевой эквивалентности тоньше, чем классификация с точностью до диффеоморфизмов прообраза и образа, так как не всякая такая пара диффеоморфизмов реализуется симплектический диффеоморфизмом фазового пространства.
Лагранжево отображение, рассматриваемое в окрестности некоторой выделенной точки, называется лагранжево эквивалентным в этой точке другому лагранжеву отображению (также имеющему выделенную точку), если существует лагранжева эквивалентность первого отображения в некоторой окрестности первой
ЛАГРАНЖЕВЫ ОСОБЕННОСТИ
421
точки на второе в некоторой окрестности второй точки^ переводящая первую точку во вторую.
Теперь мы можем сформулировать классификационную теорему для особенностей лагранжевых отображений в размерностях п <^ 5.
Всякое n-мерное лагранжево многообразие (п <^ 5) можно сколь угодно малой деформацией в классе лагранжевых многообразий превратить в такое, что отображение проектирования на конфигурационное пространство будет в каждой точке лагранжево эквивалентным одному из лагранжевых отображений приведенного выше списка.
В частности, двумерное лагранжево многообразие можно сколь угодно малым шевелением в классе лагранжевых многообразий привести в «общее положение», так что отображение проектирования на конфигурационное (двумерное) пространство не будет иметь других особенностей, кроме складок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме A2) и сборок (которые лагранжевой эквивалентностью приводятся к нормальной форме A3).
Заметим, что уже приведенное утверждение о двумерных лагранжевых отображениях не вытекает из классификационной теоремы для общих (нела-гравжевых) отображений. Ибо, во-первых, лагранжевы отображения составляют среди всех гладких отображений весьма узкий класс, и поэтому могут иметь (и действительно имеют при п > 2) в качестве типичных для лагранжевых отображений такие особенности, которые для отображений общего вида нетипичны. Во-вторых же, из возможности привести отображение к нормальной форме диффеоморфизмами прообраза и образа еще не следует возможность такого приведения с помощью лагранжевой эквивалентности.
Таким образом, каустики лагранжева двумерного многообразия общего положения имеют в качестве особенностей лишь полукубические острия (и точки трансверсального самопересечения). Все более сложные особенности распадаются при малом шевелении лагранжева многообразия, тогда как точки возврата и точки самопересечения каустики неустранимы малым шевелением и лишь немного деформируются.
Нормальные формы следующих особенностей Ац, D41 . . . можно подобным же образом использовать для исследования каустик лагранжевых многообразий большего числа измерений, а также для исследования перестроек каустик лагранжевых многообразий небольшого числа измерений при изменении параметров, от которых зависит многообразие.
Другие применения формулы настоящего раздела находят в теории лежандровых особенностей, то есть особенностей волновых фронтов, преобразований Лежандра, огибающих и выпуклых оболочек (см. добавление 4, стр. 333). Теории лагранжевых и лежандровых особенностей имеют очевидные приложения не только в геометрической оптике и теории асимптотик осциллирующих интегралов, го и в вариационном исчислении, в теории раз-
422
ДОБАВЛЕНИЕ 13
рыввых решений нелинейных уравнений с частными производными, в задачах оптимизации, погони и т. п. Р. Том предложил для теории особенностей, теории бифуркаций и их приложений объединяющее название теория катастроф.
Добавление 13 ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ
Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент M1 вектора кинетического момента, {F, G} = S (OFIdM1) (8GIdM1) {M1, M1}. Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах симплектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями): они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных между собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.)
