Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Для перехода к бесконечномерному случаю нужно всюду заменить симметрические операторы в евклидовом конечномерном пространстве самосопряженными в гильбертовом. При этом, поскольку эллиптические координаты связаны не с самим оператором, а с его резольвентой, неограниченность исходного оператора (который может, например, быть дифференциальным) не является слишком серьезным препятствием.
В некоторых случаях получаемые таким образом эллиптические координаты в гильбертовом пространстве образуют счетный набор. Однако возможен и случай непрерывного спектра, когда набор координат получается континуальным. В этом случае переход от исходной точки гильбертова (скажем, функционального) пространства к континуальному набору эллиптических координат этой точки может рассматриваться как нелинейное преобразование функционального пространства. Это преобразование, по аналогии с преобразованием Фурье, можно назвать преобразованием Якоби: исходной функции сопоставляется функция, выражающая зависимость континуальной эллиптической координаты от ее номера (т. е. номера на оси спектрального параметра). Вероятно, исследование функционально-аналитических свойств прямого и обратного преобразований Якоби — дело не слишком далекого будущего.
Наряду с общей теорией эллиптических координат ниже обсуждаются некоторые их применения в теории потенциала.
Настоящее дополнение основано на статье автора «Несколько замечаний об эллиптических координатах», в посвященной 50-летию Л. Д. Фаддеева книге «Записки научных семинаров ЛОМИ» (Л.: Изд-во ЛОМИ.— 1984.— Т. 133.— С. 38—50) и докладах автора «Интегрируемые гамильтоновы системи, связанные с квадриками (по Ю. Мозеру)» (УМН.— 1979.— Т. 34, вып. 5.— С. 214); «Some algebro-geometrical aspects of the Newton attraction theory» (в книге: Progress in Mathematics.— Boston:] Birkhauser, 1983.—
436
ДОБАВЛЕНИЕ 14
V. 36 (I. R. Shafarevich volume, p. 1—4)); «Магнитные аналоги теорем Ньютона и Айвори» (УМН.— 1983.— Т. 38, вып. 5. — С. 145—146).
Дальнейшие подробности по поводу упомянутых в дополнении результатов можно найти в работах:
Melrose R.B. Equivalence of glancing hypersurfaces Il Invent. Math.— 1976.—V. 37.—P. 165—191; Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем//У MH.— 1981.—Т. 36, вып. 5.— С. 109—151; Арнольд В. И. Л агранжевы- многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост // Функциональный анализ и его приложения.— 1981.— Т. 15, № 4.— С. 1—14; Арнольд В. И. Особенности в вариационном исчислении // Итоги науки. Современные проблемы математики.— M.: ВИНИТИ.— 1983.— Т. 22. — С. 3—55; Г и-венталь А. Б. Полиномиальность электростатических потенциалов // УМН.— 1984.— Т. 39, вып. 5.— С. 253, 254; Арнольд В. И. О ньютоновском потенциале гиперболических слоев//Труды Тбилисского университета.— 1982.— Т. 232—233. С. 23—28; Вайнштейн А.Д., Шапиро Б. 3. Многомерные аналоги теоремы Ньютона и Айвори // Функциональный анализ и его приложения.— 1984.— Т. 18, № 4.
А. Эллиптические координаты и конфокальные квадрики.
Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство.
Определение 1. Евклидовым пучком квадрик (соответственно квадратичных форм) в евклидовом векторном пространстве V называется однопараметрическое семейство поверхностей второй степени
-J-(Af1X, х) = 1
(соответственно форм Af), где
Ax = A-XE
и А — симметрический оператор:
A: V-> V*, А*= А.
Определение 2. Конфокальным семейством квадрик в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойственных квадрикам одного евклидова пучка (квадрик в пространстве, двойственном рассматриваемому):
Таким образом, конфокальные друг другу квадрики образуют однопараметрическое семейство, но от параметра квадратичная форма семейства зависит уже не линейно.
Пример. Плоские кривые, конфокальные фиксированному эллипсу,— это все эллипсы и гиперболы с теми же фокусами.
ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
437
На рис. 248 слева изображены кривые одного конфокального-семейства, а справа — кривые соответствующего евклидова пучка.
Эллиптическими координатами точки называются значения параметра К, которым соответствуют проходящие через эту точку квадрики фиксированного семейства конфокальных квадрик.
Зафиксируем в евклидовом пространстве эллипсоид, все оси-которого имеют неравные длины.
Теорема 1 (Якоби). Через каждую точку n-мерного евклидова пространства проходит п квадрик, конфокальных выбранному эллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под' прямыми углами.
Доказательство. Отличная от 0 точка пространства соответствует в двойственном пространстве аффинной гиперплоскости: последняя состоит из линейных форм, равных 1 в этой точке»
В терминах двойственного пространства теорема 1 означает, что всякая гиперплоскость, не проходящая через 0 в n-мерном евклидовом пространстве, касается ровно п квадрик евклидова пучка, причем векторы, ведущие из 0 в точки касания, попарно ортогональны (рис. 248 справа).
