Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
H = H0 {I) + EH1 (/, ф), є < 1,
в переменных действие / — угол ф.
Здесь H0 — гамильтониан невозмущенной задачи, a гНх — возмущение, являющееся 2я-периодической функцией угловых переменных фх, . . ., ф„. В невозмущенной задаче (є = 0) углы Ф меняются равномерно, с постоянными частотами
щ = дН0/д1н,
а все переменные действия являются первыми интегралами. Требуется исследовать фазовые кривые уравнений Гамильтона
/ = — дН/ду, ф - дНІдІ
в фазовом пространстве, которое является прямым произведением области в n-мерном пространстве с кооординатами / и и-мерного тора с угловыми координатами ф.
Существенное продвижение в исследовании возмущенных фазовых кривых этой задачи было начато в 1954 г. работой А. Н. К о л-могорова «О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона» (ДАН СССР.— 1954.— Т. 98, №4.— С. 527—530). В настоящем добавлении излагаются основные результаты, полученные с тех пор в этой области. Доказательства можно найти в следующих работах:
368
ДОБАВЛЕНИЕ 8
Арнольд В. И. Малые знаменатели I: Об отображениях окружности на себя // Изв. АН СССР.— 1961.— Т. 25, № 1.— С. 21—86.
Арнольд В.И. Малые знаменатели II: Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 5.— С, 13—40.
Арнольд В. И. Малые знаменатели III: Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике // УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 6.—С. 81—192.
Arnold V. I., Avez A. Problemes ergodiques de la mecanique clas-sique.— Paris: G. V., 1967.
M о з e p Ю. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя // Математика.— 1963.— Т. 6, № 5.— С. 51—67 (Nachr. Acad. Wiss. Gottingen//Math. Phys.— 1962.—Bd. IIa, № 1.— S. 1—20).
M о з e p Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // УМН.— 1968.— Т. 23, вып. 4.— С. 179—238 (Annali della Scoula Norm. Sup. de Pisa, Ser III.— 1966.— T. 20, N 2.— P. 265—315; 1966.— № 3.— P. 499—535).
M о з e p Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды // УМН.— 1969.— Т. 24, вып. 2.— С. 165—211 (Math. Ann.— 1967.— Т. 169— Р. 136—176).
Siegel С. L., Moser J.K. Lectures on Celestial Mechanics.— Springer, 1971.
Sternberg S. Celestial Mechanics I, II.— N. V.: Benjamin, 1969.
Прежде чем формулировать результаты, мы коротко обсудим поведение фазовых кривых невозмущенной задачи, уже изученное в гл. 10.
А. Невозмущенное движение. Система с гамильтонианом H0 (/) имеет п первых интегралов в инволюции (п переменных действия). Каждое множество уровня всех этих интегралов представляет собой «.-мерный тор в 2п-мерном фазовом пространстве. Этот тор инвариантен относительно фазового потока невозмущенной системы: каждая фазовая кривая, начавшаяся в точке такого тора, на нем и останется.
Движение фазовой точки по инвариантному тору / = const является условно-периодическим. Частоты этого движения суть производные невозмущенного гамильтониана по переменным действия:
% = «к 00» где (Ofc = дН0/д1н.
Следовательно, фазовая кривая всюду плотно заполняет тор такого числа измерений, сколько среди частот сои арифметически независимых.
Заметим, что частоты зависят от того, какой именно из торов мы рассматриваем, т. е. какие именно значения первых интегралов мы зафиксировали. Система п функций со от и переменных /, вообще говоря, функционально независима; в таком случае мы можем просто нумеровать торы частотами, выбрав переменные со за координаты в окрестности рассматриваемой точки в пространстве переменных действия /.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 369
Случай, когда частоты функционально назависимы, мы будем называть невырожденным случаем. Таким образом, условие невырожденности имеет вид
Итак, в невырояеденном случае на различных инвариантных торах в фазовом пространстве невозмущенной задачи реализуются условно-периодические движения с разным числом частот. В частности, всюду плотное множество в фазовом пространстве образуют инвариантные торы, на которых число частот максимально возможное (т. е. п); такие торы называются нерезонансными.
Можно показать, что нерезонансные торы образуют в фазовом пространстве множество полной меры, так что мера Лебега объединения всех резонансных инвариантных торов невозмущенной невырожденной системы равна нулю. Тем не менее резонансные инвариантные торы существуют и перемежаются с нерезонансными таким образом, что они также образуют всюду плотное множество. Более того, всюду плотно множество резонансных торов с любым числом независимых частот от 1 до п — 1. В частности, всюду плотное множество образуют такие инвариантные торы, на которых все фазовые кривые замкнуты (число независимых частот 1).
Заметим все же, что вероятность попасть на резонансный тор при случайном выборе начальной точки в фазовом пространстве невозмущенной системыравна нулю (так же как вероятность попасть на рациональное число при случайном выборе вещественного числа). Таким образом, пренебрегая множествами меры нуль можно сказать, что почти все инвариантные торы в невырожденной невозмущенной системе нерезонансные и имеют полный набор из п арифметически независимых частот.
