Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Но свойства отображения за три периода, отвечающего укороченной функции Гамильтона, нам известны, так как это есть отображение фазового потока системы с функцией Гамильтона H0 (х, у) за время 6л (доказательство основано на том, что через время 6л наша вращающаяся система координат возвращается к исходному положению). Посмотрим теперь, какие из этих свойств сохраняются при возмущении третьего порядка малости относительно расстояния от неподвижной точки, а какие нет. Щ
Обозначим отображение за три периода для укороченной системы через A0, а настоящее отображение за три периода через А.
1. Отображение A0 включается в поток: оно является преобразованием за время 6л в фазовом потоке с гамильтонианом H0.
Нет никаких оснований думать, что отображение А включается в поток.
2. Отображение A0 выдерживает поворот на 120°: существует нетривиальный диффеоморфизм g, для которого g3 = ?и который коммутирует с A0.
362
ДОБАВЛЕНИЕ 7
Нет никаких оснований думать, что отображение А коммутирует с каким-либо нетривиальным диффеоморфизмом g, для которого g3 = Е.
3. Отображение A0 имеет три неустойчивых неподвижных точки на расстоянии порядка е от начала координат, близкие к вершинам правильного треугольника. При достаточно малых отклонениях от резонанса (т. е. при достаточно малых є) отображение А также имеет три неустойчивые неподвижные точки вблизи вершин равностороннего треугольника. Это вытекает из теоремы о неявной функции,
4. Сепаратрисы неподвижных точек отображения A0 образуют (при близких к резонансу нерезонансных значениях параметра) фигуру, близкую к сторонам и продолжениям сторон равностороннего треугольника. Если начать с точки на одной из сторон треугольника, то при повторении отображения A0 из этой точки получится последовательность точек на той же стороне треугольника, стремящаяся к одной из ограничивающих сторону вершин, скажем к M0. При применении A0 получится последовательность, сходящаяся к другой вершине, которую мы обозначим через N0.
Каждая из трех неустойчивых неподвижных точек отображения А также имеет сепаратрисы, близкие к сторонам треугольника (рис. 240). А именно, те точки плоскости, которые стремятся к неподвижной точке M при применении к ним отображений Ап, п -*¦ + оо , образуют гладкую кривую Г+, инвариантную относительно А, проходящую через точку M и вблизи точки M
Рис. 240. Расщепление близкую К Стороне M0A^0 треугольника
сепаратрис сеператрис преобразования A0. Те же точ-
ки, которые стремятся к N при применении Ап, где п -»— оо, образуют другую гладкую инвариантную кривую Г", проходящую через точку A^ и также близкую к M0N0 вблизи точки TV0.
Однако две кривые T+ и Г", обе близкие к прямой M0N0, отнюдь не обязаны совпадать. В этом и состоит явление расщепления сепаратрис, коренным образом отличающее поведение траекторий укороченной и полной систем.
Величина расщепления сепаратрис при малых є экспоненциально мала, поэтому явление расщепления легко пропустить при вычислениях по той или иной схеме «теории возмущений». Однако это явление весьма важно в принципиальном отношении. Например, из его существования сразу следует расходимость рядов многочисленных вариантов теории возмущений (так как если бы ряды сходились, расщепления бы не было).
Вообще расходимость рядов теории возмущений (при хорошем приближении, даваемом несколькими первыми членами) обычно связана с тем, что ищется несуществующий объект. Если мы пытаемся подогнать изучаемое явление под схему, которая в действительности не ухватывает существенных черт явления, то неудивительно, что наши ряды расходятся.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЪТОНОВЫХ СИСТЕМ
363
Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть).
Возвращаясь к исходной замкнутой траектории, мы увидим,; что трем неустойчивым неподвижным точкам преобразования А соответствует неустойчивая замкнутая траектория, близкая к утроенной исходной. Существует семейство траекторий, стремящихся к этой неустойчивой траектории при t—*- + оо, и другое семейство траекторий, стремящихся к неустойчивой при t —> — oo. Точки траекторий каждого из этих семейств образуют гладкую поверхность, содержащую нашу неустойчивую траекторию.
Эти две поверхности и есть сепаратрисы, о которых шла речь выше в утверждениях 4, 5, 6, стр. 360. При их пересечении с нашей трансверсальной площадкой получаются инвариантные кривые Г+ и Г" отображения А. Эти две кривые при своем пересечении образуют запутанную сеть, о которой А. Пункаре, впервые обнаруживший явление расщепления сепаратрис, писал: «Пересечения образуют нечто вроде решетки, или ткани, или сетки с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна сама себя пересекать, но она должна изгибаться столь сложным образом, чтобы пересечь бесконечное число раз все петли сети.
