Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Из указанной оценки сверху видно, что вековые изменения переменных действия не улавливаются ни в каком приближении теории возмущений, так как средняя скорость этих изменений экспонециально мала. Заметим также, что вековые изменения переменных действия, по-видимому, не имеют направленного характера, а представляют собой более или менее случайное блуждание по резонансам вокруг инвариантных торов. Подробное обсуждение возникающих здесь вопросов можно найти в статье: Заславский Г. M., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН.—1971.—Т. 105, № 1.— С. 3—39.
376
ДОБАВЛЕНИЕ 8
Г. Разные варианты теоремы об инвариантных торах. Аналогичные теореме о сохранении инвариантных торов в автономной системе утверждения доказаны для неавтономных уравнений с периодическими коэффициентами и для симплектических отображений.
Другие случаи, где имеют место аналогичные утверждения, связаны с теорией малых колебаний в окрестности положения равновесия автономной системы или системы с периодическими коэффициентами, а также в окрестности замкнутой фазовой кривой фазового потока или в окрестности неподвижной точки симплектического отображения.
Условия невырожденности, нужные в разных случаях, различны. Поэтому здесь для справок приведены эти условия невырожденности. Мы ограничиваемся простейшими требованиями невырожденности, которые все выполнены в системах «общего положения». Во многих случаях требования невырожденности можно ослабить, но достигаемый при этом выигрыш не окупает усложнения формулировки.
1. Автономная система. Функция Гамильтона
H = H0 {I) + гНг (I, ср), ZeGCR", ф mod 2я EB Тп. Условие невырожденности
det
дШ0
ф О
гарантирует сохранение *) большинства инвариантных торов при малом возмущении (s ^ 1).
невырожденности OH0
Условие
изоэнергетической
det
O/2
дН0
д!
dl
О
фО
гарантирует существование на каждом многообразии уровня энергии множества инвариантных торов, дополнение к которому имеет малую меру. Частоты на этих торах, вообще говоря, зависят от величины возмущения, но отношения частот сохраняются при изменении Є.
Если п = 2, то условие изоэнергетической невырожденности гарантирует также устойчивость переменных действия в том смысле, что они остаются вечно вблизи своих начальных значений при достаточно малом возмущении.
2. Периодическая система. Функция Гамильтона:
H = H0 (I) + EH1 (7, ф, t), IEzG(Z R", ф mod 2я E= Тп;
*) Разумеется, при возмущении торы несколько деформируются.
ТЕОРИЯ возмущений условно-периодических движений 377
возмущение 2я-периодично не только по ф, но и по t. Невозмущенную систему естественно рассматривать в 2п + 1-мерном пространстве {(/, ф, t)} = R" X Тп+1. Инвариантные торы имеют размерность п -f- 1. Условие невырожденности
I ~~bW~ I ^
гарантирует сохранение большинства п -f- 1-мерных инвариантных торов при малом возмущении (є <^ 1).
Если п = 1, то это условие невырожденности гарантирует также устойчивость переменной действия в том смысле, что она вечно остается вблизи своего начального значения при достаточно малом возмущении.
3. Отображение (/, ф) (Г, ф') «2п-м е р н о г о кольца». Производящая функция
S (/', ф) = S0 (/') + 6S1 (/', ф), /' Є G CZ Ф Є Тп. Условие невырожденности
гарантирует сохранение большинства инвариантных торов невозмущенного отображения ((/, ф) >->-(/, Ф + dSJdl)) при малом возмущении (є 1).
Если п = 1, то получается сохраняющее площади отображение обычного кругового кольца на себя. Невозмущенное отображение представляет собой на каждой окружности / = const поворот. Условие невырожденности означает в этом случае, что угол поворота от одной окружности к другой меняется.
Инвариантные торы в случае п — 1 превращаются в обычные окружности. В этом случае теорема гарантирует, что при повторении отображения все образы точки будут оставаться вблизи той окружности, на которой лежала исходная точка, если возмущение достаточно мало.
4. Окрестность положения равновесия (автономный случа й). Положение равновесия предполагается устойчивым в линейном приближении, так что определены п собственных частот (O1, . . ., а>„. Предполагается, что между собственными частотами нет резонансных соотношений
Zc1O1 + . . . + An(On = 0 с целыми ki, 0 <^ S I ! <С 4.
Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Биркгофа (см. добавление 7)
H = H0 (т) + . . .»
где H0 (т) =JP (okTfc H—g-^WjrtTjcTj, а точки означают члены
378
ДОБАВЛЕНИЕ 8
выше четвертой степени относительно расстояния от положения равновесия.
Условие невырожденности
det \щ,\фО
гарантирует существование множества инвариантных торов почти полной меры в достаточно малой окрестности положения равновесия.
Условие изоэнергетической невырожденности
det
о
гарантирует существование такого множества инвариантных торов на каждом множестве уровня энергии (достаточно близком к критическому).
В случае п = 2 условие изоэнергетической невырожденности заключается в том, что квадратичная часть функции H0 не должна делиться на линейную. В этом случае изоэнергетическая невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову.
