Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Математические методы классической механики" -> 148

Математические методы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики — Едиториал УРСС, 1989. — 408 c.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка): arnold-1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 195 >> Следующая


На нерезонансном торе траектория условно-периодического движения всюду плотна. Таким образом, для почти всех начальных условий фазовая кривая невозмущенной невырожденной системы всюду плотно за-полняет инвариантный тор, размерность которого равна числу степеней свободы (т. е. половине размерности фазового пространства).

Чтобы лучше представить себе всю картину, рассмотрим случай двух степеней свободы (п =(2). В этом случае фазовое пространство четырехмерно. Следовательно, „

Рис. 242. Инвариантные то-

МНОЖеСТва УРОВНЯ Энергии трехмерны. ры в трехмерном многооб-ЗафиКСИруем ОДНО ИЗ таКИХ МНОЖеСТВ Разин уровня энергии

уровня. Это трехмерное многообразие,

расслоенное на двумерные инвариантные торы, можно представить себе в обычном трехмерном пространстве как семейство концентрических торов, вложенных друг в друга (рис. 242).

370

ДОБАВЛЕНИЕ 8

Фазовые кривые являются обмотками этих торов, причем обе частоты обращения меняются от тора к тору. В общем случае от тора к тору будут меняться не только обе частоты, но и их отношение. Если производная отношения частот по переменной действия, нумерующей торы на заданном множестве уровня функции H0, отлична от нуля, то мы скажем, что наша система изоэнерге-тпически невырождена. Условие изоэнергетической невырожденности имеет (как нетрудно сосчитать) вид

д'Н0 дН0

det

dl* dl

дН0

0

:0.

Условия невырожденности и изоэнергетической невырожденности независимы одно от другого, т. е. невырожденная система может быть изо-энергетически вырожденной, а изоэнергетически невырожденная — вырожденной. В многомерном (п > 2) случае изоэнергетическая невырожденность означает невырожденность следующего отображения п — 1-мерного многообразия уровня функции H0 от п переменных действия в проективное пространство размерности п — 1:

/к* (CO1(Z) : со2(/):... :со„ (Л).

Итак, рассмотрим изоэнергетически невырожденную систему с двумя степенями свободы. Легко построить двумерную площадку, трансверсально пересекающую двумерные торы нашего семейства (по семейству концентрических окружностей в модели в трехмерном евклидовом пространстве).

Фазовая кривая, начинающаяся на такой площадке, снова на нее возвращается, сделав оборот вокруг тора. В результате мы получаем новую точку на той же окружности, по которой тор пересекает площадку. Тем самым возникает отображение площадки на себя.

Это отображение плоскости на себя оставляет на месте концентрические меридианные окружности, по которым плоскость пересекают инвариантные торы. При этом каждая окружность поворачивается на некоторый угол, а именно на такую долю полного оборота, какую частота вдоль меридиана тора составляет от частоты вдоль экватора. Следовательно, если система изоэнергетически не вырождена, то угол поворота инвариантных окружностей на плоскости сечения будет меняться от одной окружности к другой.

Стало быть, на одних окружностях этот угол будет соизмерим с полным оборотом, на других же несоизмерим. Те и другие окружности будут образовывать всюду плотные множества, но на почти всех окружностях (в смысле меры Лебега) угол поворота несоизмерим с полным оборотом.

Соизмеримость или несоизмеримость следующим образом сказываются на поведении точек окружности при отображении пло-

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 371

щадки на себя. Если угол поворота соизмерим с полным оборотом, то после нескольких итераций отображения точка возвращается на прежнее место (число итераций тем больше, чем больше знаменатель дроби, выражающей угол поворота). Если же угол поворота несоизмерим с полным оборотом, то последовательные образы точки при повторении преобразования всюду плотно заполняют меридианную окружность.

Заметим еще, что соизмеримость соответствует резонансным торам, а несоизмеримость — нерезонансным. Заметим также, что из существования резонансных торов вытекает следующее обстоятельство. Рассмотрим некоторую степень отображения нашей площадки на себя, осуществляемого фазовыми кривыми. Пусть показатель степени является знаменателем дроби, выражающей отношение частот на одном из резонансных торов. Тогда возведенное в указанную степень отображение имеет целую окружность, сплошь состоящую из неподвижных точек (а именно, меридиан рассматриваемого резонансного тора).

Такое поведение неподвижных точек является противоестественным для отображений сколько-нибудь общего вида, даже канонических (обычно неподвижные точки изолированы). В данном случае целая окружность неподвижных точек появилась из-за того, что мы рассматривали невозмущенную, интегрируемую систему. При сколь угодно малом возмущении общего вида указанное свойство отображения (иметь целую окружность неподвижных точек) должно пропасть. Окружность из неподвижных точек должна рассыпаться, так что их останется только конечное число.

Иными словами, при малом возмущении нашей интегрируемой системы следует ожидать изменения качественной картины фазовых кривых хотя бы в том отношении, что целые инвариантные торы, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми, должны распасться, причем останется конечное число замкнутых кривых, близких к невозмущенным, а остальные фазовые кривые будут вести себя сложнее. Мы уже встречались с таким случаем в добавлении 7 при исследовании фазовых колебаний вблизи резонанса.
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 195 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed