Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
5. Окрестность положения равновесия (периодический случай). Здесь снова предполагается устойчивость в линейном приближении, так что определены п собственных частот Co1, . . ., со„. Предполагается, что между собственными частотами и частотой изменения коэффициентов (которую мы будем считать равной единице) нет резонансных соотношений
п
A1CO1 + ... + ZcnCOn + к0 = 0 с 0< Sjki|<4.
Тогда функцию Гамильтона можно привести к нормальной форме Биркгофа такого же вида, как в автономном случае, но с 2я-периодическим по времени остаточным членом.
Условие невырожденности
det I Щі I ф 0
гарантирует существование п + 1-мерных инвариантных торов в 2п -f- 1-мерном расширенном фазовом пространстве, близких к окружности т = 0, изображающей положение равновесия.
В случае п = 1 условие невырожденности сводится к отличию от нуля производной периода малых колебаний по квадрату амплитуды малых колебаний. В этом случае невырожденность гарантирует устойчивость положения равновесия по Ляпунову.
6. Неподвижная точка отображения. Здесь предполагается, что все 2п собственных чисел линеаризации канонического отображения в неподвижной точке имеют модуль 1
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 379
и не удовлетворяют резонансным соотношениям низкого порядка
= IA1I+... + |А„|<4
(где 2п собственных чисел— это X1, . . ., Яп, X1, . . ., %п).
Тогда отображение, если пренебречь членами выше третьей степени в ряду Тейлора в неподвижной точке, записывается в нормальной форме Биркгофа
(т, ф) (т, ф + а (т)), где а (т) = dS/dx,
S = G>icTjc + -g- (обычные координаты в окрестности
положения равновесия — это рн = V^xiscos Фк» Qu = Y^r11Sm фл). Условие невырожденности
det \Щі\фО
гарантирует существование n-мерных инвариантных торов (близких к торам т = const), образующих множество почти полной меры в достаточно малой окрестности положения равновесия.
Если п = 1, то мы имеем дело с отображением обычной плоскости на себя, а инвариантные торы превращаются в окружности. Условие невырожденности означает, что для нормальной формы производная угла поворота окружности по площади, ограниченной этой окружностью, отлична от нуля (в неподвижной точке и, следовательно, в некоторой ее окрестности).
В случае п = 1 условие невырожденности гарантирует устойчивость неподвижной точки отображения по Ляпунову. Заметим, что в этом случае условие отсутствия младших резонансов имеет вид
%3 фі, Xі ф 1.
Таким образом, неподвижная точка сохраняющего площадь отображения плоскости на себя устойчива по Ляпунову, если линейная часть отображения является поворотом на угол, не кратный 90° и 120°, и если отличен от нуля коэффициент O)11 в нормальной форме Биркгофа (гарантирующий нетривиальную зависимость угла поворота от радиуса).
Выше мы нигде не останавливались на условиях гладкости, предполагаемых в этих теоремах. Минимальная необходимая гладкость неизвестна ни в одном случае. В качестве примера можно указать, что последнее предложение об устойчивости неповижных точек отображений плоскости на себя было вначале доказано Ю. Мозером в предположении 333-кратной дифференцируемости, и лишь впоследствии (усилиями Мозера и Рюссмана) число производных было понижено до 6.
380
ДОБАВЛЕНИЕ 8
Д. Приложения теоремы об инвариантных торах и ее обобщений. Существует много механических задач, к которым применимы сформулированные выше теоремы. В качестве одной из простейших задач такого рода можно указать движение маятника под действием периодически меняющегося внешнего поля или под действием вертикальных колебаний точки подвеса.
Известно, что в отсутствие параметрического резонанса нижнее положение равновесия маятника устойчиво в линейном приближении. Устойчивость этого положения равновесия с учетом нелинейных эффектов (при дополнительном предположении отсутствия резонансов порядков три и четыре) может быть доказана лишь с помощью теорем об инвариантных торах.
Аналогичным образом можно использовать теорему об инвариантных торах для исследования условно-периодических движений системы связанных нелинейных осцилляторов.
Другой пример доставляет геодезический поток на выпуклой поверхности, близкой к эллипсоиду. В этой системе две степени свободы, и мы убеждаемся, что большинство геодезических на близкой к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя «каустиками», близкими к линиям кривизны поверхности, всюду плотно заполняя кольцо между ними. В то же время мы приходим к теоремам об устойчивости двух замкнутых геодезических, получившихся при деформации поверхности из двух эллипсов, содержащих среднюю ось эллипсоида (в отсутствие резонансов порядков 3 и 4).
В качестве еще одного примера можно рассмотреть замкнутые траектории на бильярдном столе любой выпуклой формы. Среди замкнутых бильярдных траекторий имеются устойчивые в линейном приближении, и мы можем заключить, что в общем случае они по-настоящему устойчивы. Примером такой устойчивой бильярдной траектории является малая ось эллипса и, следовательно, близкая к малой оси эллипса замкнутая бильярдная траектория на бильярде, близком к эллипсу, устойчива.
