Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Приходится поражаться сложности этой фигуры, которую даже не пытаюсь начертить. Ничто не может дать нам лучшее представление о сложности проблемы трех тел и всех проблем динамики, где нет голоморфного интеграла и ряды Волина расходятся» (Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 2.— M.: Наука, 1972, гл. 33).
Следует заметить, что в картине пересекающихся сепаратрис до сих пор многое неясно.
Е. Резонансы высших порядков. Резонансы следующих порядков также можно исследовать с помощью нормальной формы. Заметим при этом, что резонансы порядка выше 4 обычно не вызывают неустойчивости, так как в нормальной форме появляются члены четвертой степени, гарантирующие минимум или максимум функции H0 даже в момент резонанса.
В случае резонанса порядка п ~> 4 типичная перестройка фазового портрета системы с функцией Гамильтона H0 дается формулой
H0 = єт + T2CX (т) + от"/2 sin пер,
2r=p2 + q\ а(0) = ±1,
и состоит в следующем (рис. 241).
364
ДОБАВЛЕНИЕ 7
При малом (порядка є) отклонении частоты от резонанса на малом расстоянии (порядка Vl 8I) от положения равновесия в начале координат функция H0 имеет 2п критических точек вблизи вершин правильного 2гс-угольника с центром в начале координат. Половина этих критических точек — седла, а вторая половина — максимумы, если в начале координат минимум, и минимумы, если в начале координат максимум. Седла и устойчивые точки перемежаются. Все п седел лежат на одном уровне функции H0, ж их сепаратрисы, соединяя последовательные седла, образуют п «островов», каждый из которых заполнен замкнутыми фазовыми кривыми, окру-
Рис. 241. Усредненный жаЮЩИМИ УСТОЙЧИВУЮ ТОЧКУ. Ширина ОСТ-гамильтониан фазовых ~* * Jj J г
колебаний вблизи резо- ровов порядка е(п/4'~1''!. «замкнутые фазо-нанса а: і вые Кривые ВПутри каждого острова назы-
вают фазовыми колебаниями (так как меняется в основном фаза колебания вокруг начала координат). Период фазовых колебаний растет при уменьшении расстройки частоты е как є-"/4.
Внутри узкого кольца, образованного островами, ближе к началу координат, лежат замкнутые фазовые кривые, обходящие начало координат; вне кольца фазовые кривые также замкнуты, но движение по ним происходит в другую сторону, чем внутри кольца. Заметим, что радиус кольца имеет порядок V |е I независимо от порядка резонанса, лишь бы этот порядок был больше 4. При этом кольцо островов существует только при одном из двух знаков є.
При переходе от укороченной системы с гамильтонианом H0 к полной сепаратрисы расщепляются подобно тому, как описано выше для резонанса порядка 3. Величина расщепления сепаратрис экспоненциально мала (порядка е~1/еП/і), однако расщепление имеет принципиальное значение для исследования устойчивости, особенно в многомерном случае.
Возвращаясь к нашей исходной замкнутой траектории, мы приходим к следующей картине. При приближении к резонансу по оси є с одной определенной стороны *) от периодической траектории ответвляются две другие: устойчивая и неустойчивая. Эти новые траектории замыкаются после п оборотов вдоль исходной траектории и удалены от исходной на расстояние порядка V| є|. Вблизи устойчивой траектории имеется зона медленных фазовых колебаний с периодом порядка е"п/і и амплитудой порядка п/п в азимутальном направлении и порядка е(п/4)_3/2 в радиальном. Потери устойчивости исходной периодической тра-
*) В отличие от резонанса порядка 3, для которого ответвляющаяся неустойчивая периодическая траектория есть по обе стороны от резонанса.
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОЧИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 365
ектории в момент прохождения резонанса не происходит, по меньшей мере в том приближении, которое мы рассматриваем.
Случай резонанса четвертого порядка стоит несколько особняком. Дело в том, что в этом случае в нормальной форме имеются как резонансные, так и нерезонансные члены четвертой степени. Вид фазовых кривых укороченной системы зависит от того, какой из этих членов нормальной формы перетянет: резонансный пли нерезонансный. В первом случае перестройка такая же, как для резонанса третьего порядка, только вместо треугольника — квадрат. Во втором случае перестройка такая же, как при п > 4.
Заметим в заключение, что даваемое нормальной формой приближение тем лучше, чем ближе мы находимся к резонансу (є <^ 1) и чем меньше отклонение начальной точки от периодической траектории. А именно, при приближении к точной соизмеримости периода замкнутой траектории с периодом колебаний соседних траекторий около нее и при приближении начального условия к замкнутой траектории возрастает промежуток времени, на котором наше приближение правильно описывает поведение фазовых кривых.
Никакого вывода о поведении незамкнутых фазовых кривых на бесконечном интервале времени (например, об устойчивости исходной периодической траектории по Ляпунову) из наших рассуждений не вытекает, так как отброшенные при приведении к нормальной форме члены высокой степени могут за бесконечное время совершенно изменить характер движения. В действительности в рассматриваемых условиях исходная периодическая траектория' устойчива по Ляпунову, но доказательство требует существенно новых соображений по сравнению с нормальной формой Биркгофа (см. добавление 8).
