Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Посмотрим теперь, что происходит при малом возмущении функции Гамильтона с нерезонансными инвариантными торами. Формальное применение принципа усреднения (т. е. первое приближение классической теории возмущений, см. § 52) приводит к выводу, что никакой эволюции нерезонансный тор не претерпевает.
Заметим, что здесь весьма существенна гамильтоновость возмущений, так как при неконсервативном возмущении переменные действия, очевидно, могут эволюционировать. В небесно-механической ситуации их эволюция означает вековое изменение больших полуосей кеплеровых эллипсов, т. е. падение планет на Солнце или их столкновение, или уход на большое расстояние за время, обратно пропорциональное величине возмущения.
372
ДОБАВЛЕНИЕ 8
Если бы консервативные возмущения приводили к эволюции в первом приближении, это сказалось бы на судьбе планет через время порядка 1000 лет. К счастью, порядок величины неконсервативных возмущений много меньше.
Формулируемая ниже теорема Колмогорова доставляет одно из оправданий приведенного вывода нестрогой теории возмущений об отсутствии эволюции переменных действия.
Б. Инвариантные торы возмущенной системы.
Теорема. Если невозмущенная гамильтонова система не вырождена, то при достаточно малом консервативном гамилъто-новом возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезнет, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы также имеются инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их условно-периодически, с числом частот, равным числу степеней свободы.
Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера дополнения к их объединению мала вместе с возмущением.
Доказательство этой теоремы А. Н. Колмогорова основано на следующих его двух замечаниях.
1. Зафиксируем нерезонансный набор частот невозмущенной системы так, чтобы частоты не только были независимы, но и не удовлетворяли приближенно никаким резонансным соотношениям малого порядка.
Точнее говоря, фиксируется набор частот со, для которого существуют такие С и v, что J (to, k) | > С \ к \~v при всех целых векторах к -/= 0.
Можно показать, что если v достаточно велико (скажем, v = п + 1), то мера множества таких векторов со (лежащих в фиксированной ограниченной области), для которых указанное условие нерезонансности нарушается, мала вместе с С.
Далее, будем искать вблизи нерезонансного инвариантного тора невозмущенной системы, соответствующего фиксированным значениям частот, такой инвариантный тор возмущенной системы, на котором происходит условно-периодическое движение в точности с теми самыми частотами, которые мы фиксировали и которые, стало быть, удовлетворяют выписанному выше условию нерезонансности.
Таким образом, вместо обычной для многих схем теории возмущений вариации частоты (состоящей во введении частот, зависящих от возмущения), следует сохранять частоты нерезонансными и постоянными, но зато подбирать начальные условия по данному возмущению так, чтобы обеспечить движение с фиксированными частотами. Добиться этого малым вместе с возмущением изменением начальных условий можно потому, что частоты меняются с переменными действия согласно условию невырожденности.
2. Второе замечание состоит в том, что для отыскания инвариантного тора вместо обычных для многих схем теории возму-
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 373
щений разложений в ряды по степеням возмущения можно использовать быстросходящийся метод типа ньютоновского метода касательных.
Метод касательных Ньютона для отыскания корней алгебраических уравнений при начальной погрешности є дает после п приближений ошибку порядка є2". Такая сверхсходимость позволяет парализовать влияние малых знаменателей, появляющихся в каждом приближении, и в результате удается не только провести бесконечное число приближений, но и доказать сходимость всей процедуры.
Предположения, в которых все это удается сделать, состоят в том, что невозмущенная функция Гамильтона H0 (/) аналитична и невырождена, а возмущающая функция Гамильтона eHt (I, (р) аналитична и 2я-периодична по угловым переменным (р. Присутствие малого параметра є несущественно: важно лишь, чтобы возмущение было достаточно мало в какой-нибудь комплексной окрестности радиуса р вещественной плоскости переменных ф (меньше некоторой положительной функции M (р, H0)).
Как показал Ю. Мозер, требование аналитичности можно заменить дифференцируемостью достаточно высокого порядка, если комбинировать метод Ньютона с предложенным Дж. Нэшем сглаживанием функций в каждом приближении.
Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти; однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений.
