Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Применение теорем об инвариантных торах к задаче о вращении несимметричного тяжелого твердого тела позволяет рассмотреть неинтегрируемый случай тела, приведенного в быстрое вращение. Задача о быстром вращении математически эквивалентна задаче о движении с умеренной скоростью в слабом поле тяжести: существенным параметром является отношение потенциальной энергии к кинетической. Если он мал, то мы можем использовать в первом приближении эйлерово движение твердого тела.
Применяя теоремы об инвариантных торах к задаче с двумя степенями свободы, которая получается после исключения циклической координаты (вращения вокруг вертикали), мы приходим к следующему выводу о движении быстро вращающегося тела: если кинетическая энергия вращения тела достаточно велика по сравнению с потенциальной, то длина вектора кинетического
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 381
момента и его наклон к горизонту вечно остаются вблизи своих начальных значений.
Из этого вытекает, что движение тела будет вечно близким к комбинации движения Эйлера — Пуансо с азимутальной прецессией, исключая, однако, случай, когда начальные значения кинетической энергии и полного момента близки к таким, для которых тело может вращаться вокруг средней оси симметрии. В этом последнем случае, реализующемся лишь при специальных начальных условиях, вследствие расщепления сепаратрис вблизи средней оси возникает более сложное кувыркание около средней оси, чем в движении Эйлера — Пуансо.
Одним из обобщений теоремы об инвариантных торах является теорема о вечной адиабатической инвариантности переменной действия в одномерной колебательной системе с периодически меняющимися параметрами. Здесь следует предположить, что закон изменения параметров задан фиксированной гладкой периодической функцией медленного времени, а малым параметром задачи является отношение периода собственных колебаний и периода изменения параметров.
Тогда, если период изменения параметров достаточно велик, то изменение адиабатического инварианта фазовой точки остается малым в течение бесконечного промежутка времени.
Аналогичным образом доказывается вечная адиабатическая инвариантность переменной действия в задаче о движении заряженной частицы в аксиально-симметричном магнитном поле. Нарушение аксиальной симметрии в этой задаче увеличивает число степеней свободы с двух до трех, так что инвариантные торы перестают делить многообразие уровня энергии и становится существенным блуждание фазовой кривой по резонансным зонам.
Наконец, в применении к задаче трех (или многих) тел удается найти условно-периодические движения «планетного типа». Чтобы описать эти движения, нужно сказать несколько слов о следующем после кеплеровского приближения в задаче о движении планет. Для простоты мы ограничимся здесь плоской задачей.
Рассмотрим для каждого кеплерова эллипса вектор, соединяющий фокус эллипса (т. е. Солнце) с центром эллипса. Этот вектор, называемый вектором Лапласа, характеризует как величину эксцентриситета орбиты, так и направление на перигелий.
Взаимодействие планет друг с другом приводит к тому, что кеплеров эллипс (и, следовательно, вектор Лапласа) слегка меняется со временем. При этом существует большая разница между изменением большой полуоси и изменением вектора Лапласа. А именно, большая полуось не имеет вековых возмущений, т. е. в первом приближении лишь слегка колеблется вокруг своего среднего значения («теорема Лапласа»). Вектор же Лапласа совершает как периодические колебания, так и вековое движение. Вековое движение получится, если размазать каждую планету по
382
ДОБАВЛЕНИЕ 8
ее орбите пропорционально времени, затрачиваемому на прохождение участка орбиты, и заменить притяжение планет притяжением полученных колец, т. е. если усреднить возмущения по быстрым движениям. Истинное движение вектора Лапласа получается из векового наложением малых колебаний; эти колебания весьма существенны, если нас интересует малый интервал времени (годы), но их эффект становится малым по сравнению с эффектом векового движения, если рассмотреть большой интервал времени (тысячелетия).
Вычисления (проведенные еще Лагранжем) показывают, что вековое движение вектора Лапласа каждой из п планет, движущихся в одной плоскости, состоит в следующем (если пренебречь квадратами эксцентриситетов орбит по сравнению с самими эксцентриситетами) .
На плоскости орбиты планеты нужно расположить п векторов фиксированных длин, равномерно вращающихся каждый со своей угловой скоростью. Вектор Лапласа — их сумма.
Такое описание движения вектора Лапласа получается потому, что усредненная по быстрым движениям гамильтонова система, описывающая вековое движение вектора Лапласа, имеет положение равновесия, соответствующее нулевым эксцентриситетам. Описанное движение вектора Лапласа — это разложение малых колебаний вблизи указанного положения равновесия на собственные колебания. Угловые скорости равномерно вращающихся составляющих вектора Лапласа — это собственные частоты, а длины этих составляющих определяют амплитуды собственных колебаний.
