Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В. Зоны неустойчивости. Присутствие инвариантных торов в фазовом пространстве возмущенной задачи означает, что при большинстве начальных условий в системе, близкой к интегрируемой, движение остается условно-периодическим с максимальным набором частот.
Возникает, естественно, вопрос, что же происходит с остальными фазовыми кривыми, начальные условия которых попадают в щели между инвариантными торами, образовавшиеся на месте резонансных инвариантных торов невозмущенной задачи.
Распад резонансного тора, на котором число частот на 1 меньше полного, легко исследовать в первом приближении теории возмущений. Для этого нужно усреднить возмущение по тем п — 1-мерным инвариантным торам, на которые распадается резонансный инвариантный тор и которые всюду плотно заполняются фазовыми кривыми невозмущенной системы. В результате усреднения получим консервативную систему с одной степенью свободы (см.
374
ДОБАВЛЕНИЕ 8
исследование фазовых колебаний вблизи резонанса в добавлении 7), которую легко изучить.
В рассматриваемом приближении мы получаем вблизи распавшегося n-мерного резонансного тора перемежающийся набор неустойчивых и устойчивых п — 1-мерных торов, причем вокруг устойчивых происходят фазовые колебания. Соответствующие им условно-периодические движения имеют полный набор из п частот, в том числе п — 1 быструю частоту исходных колебаний и одну медленную (порядка |Лє) частоту фазовых колебаний.
Однако не следует думать, что все отличие движений в невозмущенной и возмущенной системе сводится к возникновению «островов» фазовых колебаний. В действительности явление гораздо сложнее, чем описанное выше первое приближение. Одним из проявлений этого сложного поведения фазовых кривых возмущенной задачи является расщепление сепаратрис, обсуждавшееся в добавлении 7.
При исследовании движений возмущенной системы вне инвариантных торов следует различать случаи двух и большего числа степеней свободы. В случае двух степеней свободы размерность фазового пространства равна четырем и многообразие уровня энергии трехмерно. Поэтому инвариантные двумерные торы делят множество уровня энергии.
При этом начавшаяся в щели между двумя инвариантными торами возмущенной системы фазовая кривая вечно остается запертой между этими торами. Стало быть, как бы сложно ни вилась эта кривая, она не выходит из своей щели, и соответствующие переменные действия вечно остаются вблизи своих начальных условий.
Если же число степеней свободы п больше двух, то и-мерные инвариантные торы не делят 2п — 1-мерное многообразие уровня энергии, но расположены в нем подобно точкам на плоскости или линиям в пространстве. В этом случае «щели», отвечающие разным резонансам, соединяются друг с другом, поэтому инвариантные торы не препятствуют начавшейся вблизи резонанса фазовой кривой уйти далеко. Стало быть, нет оснований ожидать, что переменные действия вдоль такой фазовой кривой будут оставаться близкими к своим начальным значениям во все моменты времени.
Иными словами, в системах с двумя степенями свободы (удовлетворяющих условию изоэнергетической невырожденности, вообще говоря, выполненному) при достаточно малых возмущениях переменные действия вдоль фазовой траектории не только не имеют векового возмущения ни в каком приближении теории возмущений (т. е. мало меняются в течение времени порядка (l/e)N при любом N, где є — величина возмущений), но и вечно остаются вблизи своих начальных значений как для нерезонансных фазовых кривых, условно-периодически заполняющих двумерные торы
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 375
*) См. АрнольдБ.И. Неустойчивость динамических систем с0 многими степенями свободы//ДАН СССР.— 1964.—Т. 156, № 1.—С. 9—12-**) НехорошевН. Н. О поведении гамилътоновых систем, близких к интегрируемым. Функциональный анализ и его приложения//1971.— Т. 5, вып. 4.— С. 82—83.
(и составляющих большую часть фазового пространства), так и при остальных начальных условиях.
В то же время существуют удовлетворяющие всем условиям невырожденности системы с большим двух числом степеней свободы, в которых, несмотря на то, что при большинстве начальных условий движение условно-периодично, при некоторых начальных условиях возможен медленный уход переменных действия от их начальных значений. Средняя скорость этого ухода в имеющихся примерах *) оказывается порядка е~11^е, т. е. эта скорость убывает при уменьшении возмущения быстрее любой его степени. Поэтому неудивительно, что указанный уход не обнаруживается ни в каком приближении теории возмущений (здесь под средней скоростью понимается отношение приращения переменных действия к времени, так что фактически речь идет о приращении порядка 1 за большое время порядка е1/уГе).
Оценка сверху средней скорости ухода переменных действия от начальных условий в общих системах канонических уравнений Гамильтона с п степенями свободы, близких к интегрируемым, содержится в работе Н. Н. Нехорошева **).
Эта оценка, как и приведенная выше оценка снизу, имеет вид e-i/ed- таким образом, приращение переменных действия мало, пока время мало по сравнению с e1/ed, если є < є0. Здесь є — величина возмущения, ad — заключенное между 0 и 1 число, определяемое, как и е0, свойствами невозмущенного гамильтониана H0. При этом на невозмущенный гамильтониан накладывается некоторое условие невырожденности (конечнократность критических точек ограничений H0 на подпространства; достаточна квадратичная выпуклость невозмущенного гамильтониана, т. е. знакоопределенность второго дифференциала функции H0).
