Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
Добавление 8
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА
Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых «интегрируемых» задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих «интегрируемых случаев» можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение.
Примером такой ситуации является задача о движении планет вокруг Солнца по закону всемирного тяготения. Масса планет составляет примерно 0,001 массы Солнца, поэтому в первом приближении можно пренебречь взаимодействием планет друг с другом и учитывать только их притяжение Солнцем. В результате
366
ДОБАВЛЕНИЕ 8
получается точно интегрируемая задача о движении невзаимодействующих планет вокруг Солнца; каждая планета независимо от остальных будет описывать свой кеплеров эллипс, и движение системы в целом будет условно-периодично. Если теперь учесть взаимодействие планет друг с другом, то кеплерово движение каждой планеты несколько изменится.
Небесно-механическая теория возмущений призвана учитывать это взаимодействие.
При этом ясно, что расчет на времена порядка 1000 лет не должен вызывать принципиальных трудностей. Однако если мы захотим исследовать большие промежутки времени, а особенно если мы заинтересуемся качественными вопросами о поведении точных решений уравнений движения на бесконечном интервале времени, то такие трудности возникают.
Дело в том, что накопление возмущений в течение большого по сравнению с 1000 лет промежутка времени может привести к полному изменению характера движения: например, планеты могут падать на Солнце, уходить от него и сталкиваться друг с другом.
Заметим, что к задаче о движении реальных планет вопрос о поведении решений уравнений движения на бесконечных промежутках времени имеет лишь косвенное отношение. Дело в том, что на интервалах времени порядка миллиардов лет сильно сказываются малые неконсервативные эффекты, неучтенные в уравнениях Ньютона. Таким образом, эффекты гравитационного взаимодействия планет реально существенны лишь в том случае, если они серьезно изменяют картину движения за конечное время, малое по сравнению с временем проявления неконсервативных эффектов.
При расчете движения на такое конечное время существенную пользу дают вычислительные машины, быстро определяющие движение планет на много тысяч лет вперед или назад.
Однако следует заметить, что даже применение современных вычислительных средств может оказаться неспособным предсказать влияние возмущений, если фазовая точка попадает в зону экспоненциальной неустойчивости.
Еще большее значение асимптотические и качественные методы имеют при исследовании движения заряженных частиц в магнитных полях, так как при этом частица обгоняет вычислительную машину и успевает сделать столь много оборотов, что машинное вычисление ее траектории невозможно даже в отсутствие экспоненциальной неустойчивости.
Для учета возмущений в небесной механике был разработан целый ряд методов. (Подробный разбор их имеется в книге: П у а н-к а р е А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 1, Т. 2.—M.: Наука, 1971, 1972.) Особенностью всех этих методов является то, что они приводят к расходящимся рядам и потому не дают никакой информации о поведении движения в целом на бесконечных интервалах времени.
Причиной расходимости рядов теории возмущений являются «малые знаменатели»: целочисленные линейные комбинации частот невозмущенных движений, на которые приходится делить при вычислении влияния возмущений. При точном резонансе
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ 367
(т. е. при соизмеримости частот) эти знаменатели обращаются в нуль, а соответствующий член ряда теории возмущений становится бесконечно большим. Вблизи резонанса этот член ряда очень велик.
Так, например, Юпитер и Сатурн в своем движении вокруг Солнца проходят за сутки примерно 299 и 120,5 секунды дуги соответственно. Следовательно, знаменатель 2сою — 5сос весьма мал по сравнению с каждой из частот. Это приводит к большому долгопериодическому возмущению планет друг другом (его период около 800 лет); изучение Лапласом этого эффекта было одним из первых успехов теории возмущений.
Заметим, что трудность, вызванная малыми знаменателями, весьма существенна. Действительно, рациональные числа образуют всюду плотное множество. Поэтому в фазовом пространстве невозмущенной задачи всюду плотное множество образуют такие начальные условия, при которых имеются резонансы и малые знаменатели обращаются в нуль. Таким образом, функции, к которым приводят ряды теории возмущений, имеют всюду плотное множество особых точек.
Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом
