Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
H0 =±-(x* + y*) + (xs-3xy*)
на плоскости (х, у) от малого параметра є.
Легко видеть, что эта перестройка состоит в следующем (рис. 239). При є = 0 линия нулевого уровня функции H0 состоит
?<0 є=0 є>0
Рис. 239. Прохождение резонанса 3 : 1
из трех прямых, пересекающихся в нуле под углами 60°. При изменении є все время существует линия уровня из трех прямых, причем эти три прямые перемещаются при изменении є поступательно, всегда образуя равносторонний треугольник с центром в начале координат. Вершины этого треугольника — седловые критические точки функции Гамильтона. Критическая точка в начале координат при прохождении є через нуль (т. е. при переходе через резонанс) превращается из минимума в максимум.
Таким образом, для системы с функцией Гамильтона H0 начало координат является устойчивым положением равновесия при всех значениях параметра, кроме резонансного, а при резонансном
360
добавление 7
значении — неустойчивым. При близких к резонансу значениях параметра треугольник вблизи начала координат, заполненный замкнутыми фазовыми кривыми, мал (порядка є), так что «радиус устойчивости» начала координат при є —*¦ 0 приближается к нулю: достаточно небольшого возмущения начального условия (порядка є), чтобы фазовая точка оказалась вне треугольника и начала уходить от положения равновесия.
Возвращаясь к исходной задаче о периодической траектории, мы приходим к следующим выводам (которые конечно не доказаны, поскольку мы отбросили члены выше третьей степени, но могут быть обоснованы):
1. В момент прохождения рассматриваемого резонанса 3 : 1 периодическая траектория в общем случае теряет устойчивость.
2. При близких к резонансному значениях параметра вблизи рассматриваемой периодической траектории на том же многообразии уровня энергии имеется неустойчивая периодическая траектория. Она замыкается, обойдя три раза вдоль исходной траектории и сделав один оборот вокруг нее. При резонансном значении параметра эта неустойчивая траектория сливается с исходной.
3. Расстояние указанной неустойчивой периодической траектории от исходной убывает при подходе к резонансу как первая степень расстройки частоты (т. е. как первая степень отклонения параметра от резонансного значения).
4. Через указанную неустойчивую траекторию на все том же трехмерном многообразии уровня энергии проходят две двумерные инвариантные поверхности, заполненные траекториями, приближающимися к этой неустойчивой периодической траектории при t—*--\-oo на одной поверхности и при t—>- — оо на другой.
5. Расположение сепаратрис таково, что в пересечении с площадкой, трансверсалъной исходной траектории, получается фигура, близкая к трем сторонам равностороннего треугольника и их продолжениям. Вершины треугольника — это точки пересечения неустойчивой периодической траектории с трансверсалъной площадкой.
6. При начальных условиях внутри образованного сепаратрисами треугольника фазовая точка в течение длительного времени (порядка не менее l/є) остается вблизи от исходной периодической траектории (на расстоянии порядка є), а при начальных условиях вне его — довольно быстро уходит на большое по сравнению с є расстояние.
Д. Расщепление сепаратрис. В действительности сеператрисы, о которых идет речь в предложениях 4, 5 и 6, устроены весьма сложно (из-за влияния неучтенных в нашем приближении членов выше третьей степени). Чтобы ясно представить себе картину, удобно рассмотреть двумерную площадку, трансверсально пересекающую исходную замкнутую траекторию в какой-либо из ее
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 361
*) Здесь проявляется следующее общее явление: думать удобнее об отображениях за период, а считать легче с потоками.
точек ( и лежащую целиком в одном многообразии уровня энергии) *).
Траектории, начинающиеся на этой площадке, снова пересекают ее через время, близкое к периоду обращения по исходной замкнутой траектории. Таким образом, возникает отображение окрестности точки пересечения замкнутой траектории с площадкой на площадке в площадку. Это отображение имеет неподвижную точку (в месте пересечения площадки с замкнутой траекторией) и близко к повороту на угол 120° вокруг этой точки, которую мы примем за начало координат, на плоскости нашей площадки.
Рассмотрим теперь третью степень указанного выше отображения. Это — снова отображение некоторой окрестности нуля на плоскости площадки, оставляющее начало координат на месте. Но теперь уже это отображение близко к повороту на 360°, т. е. к тождественному отображению: оно осуществляется траекториями нашей системы за время, близкое к трем периодам рассматриваемой замкнутой траектории.
Приведенные выше вычисления дают нетривиальную информацию о строении этого «отображения за три периода». В самом деле, отбрасывая члены степени четыре и выше в функции Гамильтона, мы меняем члены степени три и выше у отображения. Стало быть, отображение за три периода, которое соответствует укороченной функции Гамильтона, аппроксимирует (с кубической ошибкой) настоящее отображение за три периода.
