Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
*) См.: Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избранные труды. Т. 1.— M.: Наука, 1971.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЪТОНОВЫХ СИСТЕМ
353
линейным каноническим преобразованием к виду
//==4~ <°i(Pi + 9iH----+ -Y«>n(pl + ql).
(Среди чисел сои могут быть отрицательные.)
Определение. Собственные частоты CO1, . . ., со„ удовлетворяют резонансному соотношению порядка К, если существуют целые не все равные нулю числа к, для которых
A1O1 + . . . + кп<ап = О, I A1 I + . . . + I кп I = К.
Определение. Нормальной формой Биркгофа степени s для гамильтониана назовем многочлен степени s от канонических координат (Pi, Qi), являющийся в действительности многочленом
(степени [s/2]) от переменных Xi = (P2 + С$)/2.
Например, для систем с одной степенью свободы нормальная форма степени 2т (или 2т + 1) имеет вид
Нгт = Я2т+1 = а* + + - - - + «гаЛ T = (J- + ?¦)/2,
а для систем с двумя степенями свободы нормальной формой Биркгофа степени 4 будет
Hi = O1T1 + O2T2 + 0Il1I + 2e12TlT2 + в22Т2«
Коэффициенты O1 и а2 — это собственные частоты, а коэффициенты еу описывают зависимость частот от амплитуд.
Теорема. Предположим, что собственные частоты щ не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка s и меньше. Тогда существует такая каноническая система координат в окрестности положения равновесия, что в ней функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени s с точностью до членов степени s + 1:
H (р,\ я) = И, (P,Q) + R, R=0(\P\+\Q \ГК
Доказательство этой теоремы легко проводится в системе комплексных координат,
z1 = P1-^IqI, wi= Pi-IQi
(при переходе к которым надлежит умножить гамильтониан на —2i). Если не входящие в нормальную форму члены степени меньше N уже убиты, то вамена с производящей функцией Pq + Sn (P, q) (где Sn- однородный многочлен степени N) изменит в разложении Тейлора функции Гамильтона лишь члены степени N и выше.
При этой замене коэффициент при одночлене степени N в функции Гамильтона, имеющем вид
4\ .•4Sf*- • («і+• ••+«„+Pi+ •. .+Pn=W
изменится, как легко сосчитать, на величш у
*ор №i (Pi — «i) + • • • + An (Pn —«„)].
354
ДОБАВЛЕНИЕ 7
где Ki = іщ и где sa? — коэффициент при zawH в разложении функции Sn (р, q) по переменным z, w.
При сделанных предположениях об отсутствии резонанса коаффициент в квадратных скобках при sK? отличен от нуля, кроме лишь случая, когда наш одночлен выражается через произведения ztwi = 2T1 (т. е. когда все щ равны Pi). Таким образом, мы можем убить все члены степени N, кроме выражающихся через переменные Tj. Полагая Л' = 3, 4, . . ., s, получаем доказываемое.
При пользовании теоремой Биркгофа полезно заметить, что система, гамильтониан которой является нормальной формой, интегрируется. Именно, рассмотрим «канонические полярные координаты» Т(, срь через которые P1 и Q1 выражаются по формулам
P1 = У2T1 cos ср,, Q1 = \! 2T1 sin срг.
Поскольку гамильтониан выражается через одни лишь переменные действия Ti, система интегрируема и описывает условно-периодические движения по торам т = const с частотами к» = дН/дх. В частности, положение равновесия P = Q = O для нормальной формы устойчиво.
Б. Нормальная форма канонического преобразования вблизи неподвижной точки. Рассмотрим каноническое (т. е. просто сохраняющее площади) отображение двумерной плоскости на себя. Предположим, что это преобразование оставляет на месте начало координат, а его линейная часть имеет собственные числа Я = = e±ia (т. е. является поворотом на угол а в подходящем симплектической базисе с координатами р, q). Такое преобразование будем называть эллиптическим.
Определение. Нормальной формой Биркгофа степени s для преобразования назовем каноническое преобразование плоскости в себя, являющееся поворотом на переменный угол, который является полиномом степени не выше т = [s/2]—1 от переменной действия т канонической полярной системы координат:
(т, ф) ^ (т, ф + а0 + Oc1T + . . . + аттт),
где _ _
р = }/"2т cos ф, q = У 2т sin ф. Теорема 2. Если собственное число Я эллиптического кано-нонического преобразования не является корнем из единицы степени s и меньше, то это преобразование приводится канонической заменой переменных к нормальной форме Биркгофа степени s с погрешностью в членах степени s + 1 и выше.
Многомерное обобщение эллиптического преобразования — это прямое произведение п эллиптических поворотов плоскостей (Pu Qi) с собственными числами Яг = е±гаі. Нормальная форма Биркгофа степени s задается формулой
(т, ф) і-* (т, ф + dS/дт),
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
355
где S — многочлен степени не выше [s/2] от переменных действия
T1, . . ., Xn.
Теорема 3. Если собственные числа Х[ многомерного эллиптического канонического преобразования не допускают резонансов
а?*...я*» = 1, |*i| + ... + |Anl<«t
то это преобразование приводится к нормальной форме Биркгофа степени s (с ошибкой в членах степени s в разложении отображения в ряд Тейлора в точке р = q = 0).
