Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
H (Ц = —a (pxqx + p2q2) + pxq2 + %іРіЧі + KPuQi
(K1 и Я2 — параметры)»
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
351
Добавление 7
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ВБЛИЗИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК И ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
При исследовании поведения решений уравнения Гамильтона вблизи положения равновесия часто недостаточно ограничиваться линеаризованным уравнением. Действительно, асимптотически устойчивые положения равновесия для гамильтоновых систем невозможны по теореме Лиувилля о сохранении объема. Поэтому устойчивость линеаризованной системы всегда нейтральная: собственные числа линейной части гамильтонова векторного поля в устойчивом положении равновесия все лежат на мнимой оси.
Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и опреде~ ляет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы.
Однако квадратичная часть функции Гамильтона в устойчивом положении равновесия может и не быть знакоопределенной. Простейший пример доставляет функция H = /? + q\ — р\ — q\. Исследование устойчивости систем с такой квадратичной частью должно учитывать члены ряда Тейлора следующих степеней, прежде всего кубические члены функции Гамильтона (т. е. квадратичные члены векторов поля фазовой скорости). Исследование это удобно производить, приводя функцию Гамильтона (и следовательно, гамильтоново векторное поле) к возможно более простому виду подходящей канонической заменой переменных. Иными словами, для изучения решений полезно подобрать систему канонических координат вблизи положения равновесия так, чтобы по возможности упростить вид функции Гамильтона и уравнений движения.
Аналогичный вопрос для общих (негамильтоновых) векторных полей решается просто: там общим случаем является такой, когда векторное поле в окрестности положения равновесия линейно в подходящей системе координат (соответствующие теоремы Пуанкаре и Зигеля имеются, например, в книге: 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.— M.: ИЛ, 1959).
В гамильтоновом случае картина сложнее. Первая трудность: привести гамильтоново поле к линейной нормальной форме канонической заменой переменных, вообще говоря, невозможно. А именно, обычно можно убить кубическую часть функции Га-
352
ДОБАВЛЕНИЕ 7
мильтона, но нельзя убить все члены четвертой степени (это связано с тем, что в линейной системе частота колебаний не зависит от амплитуды, а в нелинейной, вообще говоря, зависит). Указанное затруднение преодолевается выбором нелинейной нормальной формы, учитывающей изменение частот (так называемая вариация частоты). В результате можно (в так называемом нерезонансном •случае) ввести переменные действие — угол вблизи положения равновесия так, что система станет интегрируемой с точностью до членов сколь угодно большой степени в ряду Тейлора.
Это позволяет изучать поведение системы в течение больших интервалов времени для близких к равновесию начальных условий. Однако этого недостаточно, чтобы определить, будет ли положение равновесия устойчивым по Ляпунову (из-за того, что на бесконечном отрезке времени влияние отброшенного остаточного члена ряда Тейлора может разрушить устойчивость). Такая устойчивость вытекала бы из точного приведения к аналогичной нормальной форме, без пренебрежения остаточными членами. Однако можно доказать, что это точное приведение, вообще говоря, невозможно, а формальные ряды для канонических преобразований, приводящих систему к нормальной форме, в действительности в общем случае расходятся.
Расходимость этих рядов связана с тем, что приводимость к нормальной форме повлекла бы за собой более простое поведение фазовых кривых (они должны были бы быть условно-периодическими обмотками торов), чем то, которое имеет место на самом деле. Поведение фазовых кривых вблизи положения равновесия гамильтоновой системы обсуждается в добавлении 8. В настоящем же добавлении приведены формальные результаты о нормализации с точностью до членов высокой степени.
Идея приведения гамильтоновых систем к нормальным формам восходит к Линдштедту и Пуанкаре *); нормальные формы в окрестности положения равновесия подробно изучал Дж. Д. Биркгоф (Б и р к г о ф Дж. Д. Динамические системы.— M.: Гостехиздат, 1941).
Нормальные формы для вырожденных случаев приведены в работе: Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества.— 1971.— Т. 25; 1972.— Т. 26.
А. Нормальная форма консервативной системы вблизи положения равновесия. Предположим, что в линейном приближении положение равновесия гамильтоновой системы с п степенями свободы устойчиво, и что все п собственных частот W1, . . ., Wn различны. Тогда квадратичная часть гамильтониана приводится
