Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
dM
346
ДОБАВЛЕНИЕ 5
фазовое пространство — это кокасательное расслоение двумерной сферы T*S2.
Приведенная функция Гамильтона на кокасательном расслоении сферы представляет собой сумму квадратичной относительно кокасательных векторов «кинетической энергии приведенного движения» и «эффективного потенциала» (включающего потенциальную энергию и кинетическую энергию вращения относительно вертикали).
Переход к приведенному фазовому пространству в данном случае почти сводится к «исключению циклической координаты ср. Разница состоит лишь в том, что обычная процедура исключения требует, чтобы конфигурационное или фазовое пространство было прямым произведением на окружность, тогда как в нашем случае имеется лишь расслоение. Это расслоение можно превратить в прямое произведение ценой уменьшения конфигурационного пространства (т. е. введением координат с особенностями у полюсов); преимущество изложенного выше подхода состоит в том, что выясняется, что никакой реальной особенности (кроме особенности системы координат) вблизи полюсов нет.
Определение. Фазовые кривые в М, проектирующиеся в положения равновесия приведенной системы на приведенном фазовом пространстве Fp, называются относительными равновесиями исходной системы.
Пример. Стационарные вращения твердого тела, закрепленного в центре инерции, являются относительными равновесиями.
Точно так же относительными равновесиями являются движения тяжелого твердого тела, сводящиеся к вращению с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси.
Теорема. Фазовая кривая системы с G-инвариантной функцией Гамильтона является относительным равновесием тогда и только тогда, когда она является орбитой однопараметрической подгруппы группы G в исходном фазовом пространстве.
Доказательство. Что фазовая кривая, являющаяся орбитой, проектируется в точку, очевидно. Если фазовая кривая х (t) проектируется в точку, то ее можно однозначно представить в виде х (t) = g (t) х(0), и тогда легко видеть, что {g (t)} — подгруппа, ч. т. д.
Следствие 1. Асимметричное твердое тело в любом осе-симметричном потенциальном поле, закрепленное в точке на оси поля, имеет не менее двух стационарных вращений (при каждом значении кинетического момента относительно оси симметрии).
Следствие 2. Осесимметричное твердое тело в любом потенциальном силовом поле, закрепленное в точке на оси симметрии, имеет не менее двух стационарных вращений (при каждом значении кинетического момента относительно оси симметрии).
Оба следствия вытекают из того, что функция на сфере имеет не менее двух критических точек.
Другое приложение относительных равновесий состоит в том, что с их помощью удобно исследовать перестройки топологии инвариантных многообразий энергии и момента.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 347
Теорема. Критические точки отображения момента и энергии
P X H : M-+g* XR
на регулярном множестве уровня момента — это в точности относительные равновесия.
Доказательство. Критические точки отображения P х H — это условные экстремумы функции H на многообразии уровня момента Мр (так как рассматриваемое многообразие уровня регулярно, т. е. для всех х из Мр имеем Р*ТМХ = Тф.
Условные экстремумы функции H на Мр при факторизации по Gp дают критические точки приведенной функции Гамильтона (так как H инвариантна относительно Gp). Теорема доказана.
Фактическое исследование относительных равновесий и особенностей отображения энергии — момента не просто и не проведено полностью даже в такой классической задаче, как задача о движении асимметричного твердого тела в поле тяготения. Случай, когда центр тяжести лежит на одной из осей инерции, разобран в написанном С. Б. Каток приложении к переводу цитированной на стр. 337 статьи С. Смейла.
В этой задаче размерность фазового пространства 6, а группа окружность; приведенное фазовое пространство T*S2 четырехмерно.
Многообразия неособого уровня энергии в приведенном фазовом пространстве бывают (в зависимости от значений момента и энергии) следующих четырех видов: S3, S2 X S1, RP3 и «крендель», получающийся из трехмерной сферы S3 приклеиванием двух «ручек» вида
S1 X D2 (D2 - круг, {{х, у) : х2 + у2 < 1».
Добавление 6 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ
В настоящем добавлении приведена таблица нормальных форм, к которым можно привести квадратичную функцию Гамильтона вещественным симплектическим преобразованием. Эта таблица составлена Д. М. Галиным на основании работы: W і 1 1 і a m-s о n J. On an algebraic problem, concerning the normal forms of linear dynamical systems Il Amer. J. of Math.—1936.— V. 58, № 1.— P. 141—163.
В работе Вильямсона указаны нормальные формы, к которым можно привести квадратичную форму в симплектической пространстве над любым полем.
А. Обозначения. Мы будем записывать гамильтониан в виде
H = -i- (Ах, х),
348
ДОБАВЛЕНИЕ 6
где X = (ри . . ., рп; с/ц..., qn) — вектор, записанный в симп-лектическом базисе, А — симметрический линейный оператор. Канонические уравнения имеют тогда вид
