Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В соответствии со сказанным выше эта задача сводится к исследованию однопараметрического семейства неавтономных га-мильтоновых систем с одной степенью свободы, 2л-периодически зависящих от времени, в окрестности положения равновесия. Это положение равновесия можно считать Біачалом координат при всех значениях параметра (чтобы этого добиться, нужно сделать зависящую от параметров замену переменных).
Далее, линеаризованную в положении равновесия систему можпо превратить в линейную систему с постоянными коэффициентами при помощи 2л-периодически зависящей от времени линейной канонической замены координат. В полученных координатах фазовый поток линеаризованной системы представляет со-Гой равномерное вращение вокруг положения равновесия. Угловая скорость о этого вращения зависит от параметра.
При резонансном значении параметра ш = 1/3 (т. е. за время 2л совершается треть оборота вокруг начала координат). Производная угловой скорости о по параметру в общем случае отлична от нуля. Поэтому мы можем принять за параметр саму эту угловую скорость или, еще лучше, ее отклонение от 1/3. Это отклонение мы обозначим через є. Величина є называется расстройкой частоты. Резонансное значение параметра — это є = 0. Нас интересует поведение системы при малых є.
Если пренебречь нелинейными членами в уравнениях Гамильтона и пренебречь расстройкой частоты є, то все траектории нашей системы замыкаются, сделав три оборота (т. е. имеют период 6л). Мы хотим теперь исследовать влияние нелинейных членов и расстройки частоты на поведение траекторий. Ясно, что все траектории в общем случае замыкаться не будут. Чтобы исследовать, как они себя ведут, полезно рассмотреть нормальную форму.
*) Указанный здесь прием полезен не только при исследовании гамлль-тоновых систем, но и в общей теории дифференциальных уравнений. См., например: АрнольдВ.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // УМН.— 1972. — Т. 27, № 5.— С. 120—184.
358
ДОБАВЛЕНИЕ 7
В выбранной системе координат z = р + iq, г = р — iq функция Гамильтона имеет вид
+°°
-2iH = -mzz + ^ S ha№z^em + . . .,
a+?=3 К=-оо
где точками обозначены члены степени выше третьей и где со = = (1/3) + є.
При приведении к нормальной форме мы сможем убить все члены третьей степени, кроме тех членов, для которых малый энаменатель
о (а — ?) + к
становится равным нулю при резонансе. Эти члены можно описать также как такие, которые постоянны вдоль траектории периодического движения, получающегося при пренебрежении расстройкой частоты и нелинейностью. Они называются резонанс-нимичленами. Итак, для резонанса ш = 1/3 резонансные члены — это такие, для которых
а — ? + 3ft = 0.
Стало быть, из членов третьей степени резонансными оказываются только Z3c^' и zV. Следовательно, мы можем привести функцию Гамильтона к виду
—2Ш = —tozz + hzze-u — TiPe1 + . . .
(сопряженность huh соответствует вещественности Н).
Заметим, что при приведении функции Гамильтона к этой нормальной форме мы сделали 2л-периодически зависящее от времени гладкое каноническое преобразование, гладко зависящее от параметра даже в случае резонанса. Это преобразование отличается от тождественного лишь членами второго порядка малости относительно отклонения от замкнутой траектории (а его производящая функция отличается от производящей функции тояоде-ственного преобразования лишь кубическими членами).
Дальнейшее исследование поведения решений уравнений Гамильтона проводится следующим образом. Сначала мы отбросим в функции Гамильтона все члены выше третьей степени и исследуем решения получившейся укороченной системы. Затем нужно посмотреть, как могут повлиять на поведение траекторий отброшенные члены.
Исследование укороченной системы упрощается введением на плоскости комплексной переменной z равномерно вращающейся с угловой скоростью 1/3 системы координат, т. е. подстановкой z = ?е"/3. Для переменной ? получается] тогда автономная гамильтонова система с функцией Гамильтона
-2Ш0 = -ігїі + ht? _ Щ?, где є = со - (1/3).
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ГАМИЛЪТОНОВЫХ СИСТЕМ
359
Тот факт, что во вращающейся системе координат укороченная система автономна, является большой удачей. Полная система уравнений Гамильтона (с учетом членов степени выше третьей в гамильтониане) во вращающейся системе координат не только не автономна, но даже и не 2я-периодична (а лишь 6л-периодична) по времени. Автономная система с гамильтонианом H0 является в сущности результатом усреднения исходной системы по замкнутым траекториям линейной системы с е = 0 (причем мы пренебрегаем членами выше третьей степени).
Коэффициент h можно сделать вещественным (этого можно добиться поворотом системы координат). Итак, функция Гамильтона в вещественных координатах (х, у) приводится к виду
H0 = 4" № + V*) + a (Xs - Зху*).
Коэффициент а зависит от расстройки частоты є как от параметра. При є = 0 этот коэффициент в общем случае отличен от нуля. Поэтому мы можем сделать этот коэффициент равным 1 гладко зависящей от параметра заменой координат. Итак, нужно исследовать зависимость фазового портрета системы с функцией Гамильтона
