Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
где
Собственными числами гамильтониана мы будем называть собственные числа линейного инфинитезимально-симплектического оператора IA. Точно также под жордановой клеткой мы будем понимать жорданову клетку оператора IA.
Собственные числа гамильтониана бывают четырех типов: вещественные пары (а, —а), чисто мнимые пары (ib, —ib), четверки (ztaztib) и нулевые собственные числа.
Жордановы клетки, соответствующие двум членам пары или четырем членам четверки, всегда имеют одинаковую структуру.
В случаях, когда вещественная часть собственного числа равна нулю, приходится различать жордановы клетки четного и нечетного порядка. При этом клеток нечетного порядка с нулевым собственным числом четное количество и они естественно разбиваются на пары.
Окончательный список нормальных форм следующий.
Б. Гамильтонианы. Паре жордановых клеток порядка к с вещественными собственными числами ±а отвечает гамильтониан
к jt-i
H = — a V1 pfa + р3-с/з+1.
Четверке жордановых клеток порядка к с собственными числами ±а±Ы отвечает гамильтониан
2Jt Jt 2ІС-2
в = - я S ряз +ъ S (рц-іЯгі — Ptflu-i) + S рт+2-
3=1 3=1 3=1
Паре жордановых клеток нечетного порядка к с собственным числом нуль отвечает гамильтониан
Jf-i
В = S Pjqj+1 (при к = 1, H= 0).
Жордановой клетке четного порядка 2к с собственным числом нуль соответствует гамильтониан ровно одного из следующих двух видов:
It-I Jt jt-i
В = ± ~2 (^ РзРк-з — ^ W*-jti) — ^ РЙз+1
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ГАМИЛЬТОНИАНОВ 349
(при к = 1 вида H = i1^?2)- Гамильтонианы с верхним и нижним знаком не переводятся в друга.
Паре жордановых клеток нечетного порядка 2к + 1 с чисто мнимыми собственными числами zkbi отвечает гамильтониан ровно одного из следующих двух видов:
и
H = =Ь~2~ [J^ (Ь2Р2іР2К-23+2 + ?2#2К-23+2) ~ 3=1
Jt+1 2Jt
— ? (&2P23-lP2*-23+3 + ?23-Г?2к-23+з)] " ? P
3+1*
При к = 0 H = -+--к- (^2Pi + 5?)- Гамильтонианы с верхним и ниж-
ним знаками не переводятся друг в друга.
Паре жордановых клеток четного порядка 2к с чисто мнимыми собственными числами ±Ьі отвечает гамильтониан ровно одного из двух следующих видов:
H — І~2~ ("Р" ^23-1?2»-23+1 + ?23^2^-23+2) -
3=1
Jt-I Jt Jt
— ^"1 (^Ргз'+іРг^-гз'+і +Ргз+гРгії-гі+г) ] ^2 Ргз'-гУгз + Р21Ч23-1
3=1 J=I 3=1
(при A=lF = ±- j-(-55-d+dJ — bVi?2 + Aft)-
Здесь также гамильтонианы с верхним и нижним знаками не переводятся друг в друга вещественным симплектическим преобразованием.
Теорема Вильямсона. Линейное вещественное симп-лектическое пространство, на котором задана квадратичная форма Н, распадается в прямую сумму попарно косоортогоналъных вещественных симплектических подпространств так, что форма H представляется в виде суммы форм указанных выше видов на этих подпространствах.
В. Неустранимые жордановы клетки. Индивидуальный гамильтониан «общего положения» не имеет кратных собственных чисел и приводится к простому виду (все жордановы клетки первого порядка). Однако если рассматривается не индивидуальный гамильтониан, а целое семейство систем, зависящих от параметров^ то при некоторых исключительных значениях параметров могут появиться более сложные жордановы структуры. От некоторых из них можно избавиться малым шевелением семейства, другие же неустранимы и при малом шевелении семейства лишь немного деформируются. Если число параметров семейства I конечно, то та-
350
ДОБАВЛЕНИЕ 6
них неустранимых в Z-параметрическом семействе случаев конечное число. Формулируемая ниже теорема Галина позволяет перечислить все эти случаи при любом фиксированном I.
Обозначим через пх (z) ^ п2 (z) . . . ^ ns (z) размеры жорда-новых клеток с собственным ЧИСЛОМ Z.
Теорема. Многообразие гамильтонианов с указанными размерами жордановых клеток имеет в пространстве всех гамильтонианов коразмерность
S(z) z J=I
где к — количество отличных от нуля различных собственных чисел, т — число жордановых клеток нечетного порядка с собственным числом нуль. (См. К о с a k Н. Normal forms and versal deformations of linear Hamiltonian systems Il J. Diff. Equat.—1984.—V. 51, № 3.— P. 359—407; Quadratic integrals of linear Hamiltonian systems. Monatsherfte Math. — 1984. — V. 98, № 1. — P. 53 — - 63.)
Следствие. В семействах линейных гамилътоновых систем, зависящих общим образом от I параметров, встречаются системы только с такими жордановыми клетками, что вычисленное по предыдущей формуле число с не превосходит I: все случаи с большим с устранимы малым шевелением семейства.
Следствие. В одно- и двупараметрических семействах встречаются как неустранимые только жордановы клетки следующих 12 типов:
I = 1 : (±а)2, {±ia)\ О2
(здесь жордановы клетки обозначаются их определителями, например (+а)2 означает пару жордановых клеток порядка 2 с собственными числами а и —а соответственно);
1 = 2: (±af, (±aV)3, (±а±Ы)2, 0\ (±а)2 (±Ь)2,
(±аг)2 (±Ы)2, (±а)2 (±Ы)2, (±а)2 О2, (±ai)2 О2
(остальные собственные числа простые).
Галин вычислил также нормальные формы, к которым можно привести любое семейство гладко зависящих от параметров линейных гамилътоновых систем при помощи гладко зависящей от параметров симплектической линейной замены координат. Например, для простейшей жордановой клетки (rfca)2 такой нормальной формой гамильтониана будет
