Математические методы классической механики - Арнольд В.И.
5-02-014282-4
Скачать (прямая ссылка):
В. Нормальные формы уравнения с периодическими коэффициентами вблизи положений равновесия. Пусть р = q = 0 — положение равновесия системы с функцией Гамильтона, зависящей 2я-периодически от времени. Предположим, что линеаризованное уравнение приведено линейным симплектический периодическим по времени преобразованием к автономной нормальной форме с собственными частотами Cu1, . . ., а>п.
Мы скажем, что система резонансная порядка К^> 0, если существует соотношение
A1CO1 + . . . + AnCOn + k0 = 0
с целыми Jc0, Zc1, . . ., Zcn, для которого I Zc1 I + . . . + I kn I = К.
Теорема. Если система не резонансная порядка s и меньше, то существует 2п-периодически зависящее от времени каноническое преобразование, приводящее систему в окрестности положения равновесия к такой же нормальной форме Биркгофа степени s, как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены R степени s + 1 и выше будут периодически зависеть от времени.
Наконец, пусть дана замкнутая траектория автономной системы уравнений Гамильтона. Тогда мы можем приводить систему в окрестности этой траектории к нормальной форме, пользуясь любым из следующих двух приемов:
1) Изоэнергетическая редукция: фиксируем постоянную энергии и рассматриваем окрестность замкнутой траектории на 2п — 1-мерном многообразии уровня энергии как расширенное фазовое пространство системы с п — 1 степенью свободы, периодически зависящей от времени.
2) Поверхность сечения: фиксируем постоянную энергии и значение одной из координат (так, чтобы замкнутая траектория пересекала получившуюся 2п — 2-мерную площадку трансверсально). Тогда фазовые кривые, близкие к данной, определяет отображение этой 2п — 2-мерной площадки на себя, с неподвижной точкой на замкнутой траектории. Это отображение сохраняет естественную симплектическую структуру на нашей 2п — 2-мерной площадке, и мы можем изучать его при помощи нормальной формы пункта Б.
356
ДОБАВЛЕНИЕ 7
При исследовании замкнутых траекторий автономных гамилътоновых систем возникает одно новое обстоятельство по сравнению с исследованием положений равновесия систем с периодическими коэффициентами. Дело в том, что замкнутые траектории автономных систем не лежат изолированно, а образуют (как правило) однопараметрические семейства.
Параметром семейства является значение постоянной э ергии. Действительно, предположим, что при некотором выборе згачения постоянной энергии замкнутая траектория трансверсально пересекает описанную выше 2п — 2-мерную площадку в 2п — 1-мерном многообразии уровня энергии. Тогда и при близких значениях постоянной энергии будет существовать подобная же замкнутая траектория. По теореме о неявной функции мы можем даже утверждать, что эта замкнутая траектория гладко зависит от значения постоянной энергии.
Если мы захотим теперь воспользоваться нормальной формой Биркгофа для исследования однопараметрического семейства замкнутых траекторий, то мы встретимся со следующим затруднением. При изменении параметра семейства собственные числа линеаризованной задачи будут, вообще говоря, меняться. Следовательно, при некоторых значениях параметра мы неизбежно встретимся с резонансами, препятствующими приведению к нормальной форме.
Особенно опасны резонансы низких порядков, так как они влияют на первые члены ряда Тейлора. Если нас интересует замкнутая траектория, для которой собственные числа близки к резонансному соотношению низкого порядка, то нормальную форму Биркгофа следует несколько видоизменить. А именно, при резонансе порядка N обращаются в нуль некоторые из выражений
К - [W1 (?, - а,) + • . . + <оп (Pn - On)I1 I а | + | ? | = N,
на которые приходится делить при уничтожении членов степени N в функции Гамильтона. При близких к резонансу нерезонансных значениях параметра указанная комбинация собственных частот, вообще говоря, не равна нулю, но весьма мала (эта комбинация называется поэтому «малым знаменателем»).
Деление на малый знаменатель приводит к тому, что:
1) приводящее к нормальной форме преобразование разрывно зависит от параметра (оно имеет полюс при резонансном значении параметра);
2) область, в которой нормальная форма Биркгофа хорошо описывает систему, стягивается до нуля при резонансе.
Чтобы избавиться от этих недостатков, надо отказаться от уничтожения некоторых членов в гамильтониане (именно тех, которые становятся резонансными при резонасном значении пара-
НОРМАЛЬНЫЕ ФОР U ГАМИЛЪТОНОВЫХ СИСТЕМ
357
метра). Причем их следует сохранить не только при резонансном, но и при всех близких значениях параметра *).
Получающаяся в результате нормальная форма несколько сложнее, чем обычная, но во многих случаях из нее можно извлечь полезную информацию о поведении решений вблизи резонанса.
Г. Пример: исследование резонанса порядка 3. 15 качестве простого примера исследуем, что происходит с замкнутой траекторией автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы вблизи такого значения постоянной энергии, при котором период колебаний соседних траекторий около замкнутой траектории в три раза больше периода обращения по замкнутой траектории.
